Antes de abordar algunos ejercicios, que puedan servir de ejemplo a la manera en que debe hallarse la Fracción generatriz de un Número decimal ilimitado periódico puro, quizás lo más conveniente sea revisar la definición misma de esta operación, a fin de entender cada uno de estos procedimientos dentro de su contexto específico.
Fracción generatriz de un Número decimal ilimitado periódico puro
En este sentido, se puede comenzar por decir que esta operación es un procedimiento matemático, cuyo principal objetivo es encontrar cuál es la Fracción de donde proviene, o que resulta equivalente, a número racional en forma de expresión decimal, cuya principal característica sea contar en sus unidades incompletas con una cantidad de elementos –sea uno o una serie de ellos- que se repitan al infinito, inmediatamente después de la coma, que separa los números enteros de los decimales, es decir, que sea un Número decimal ilimitado periódico puro.
Así mismo, las Matemáticas han señalado una serie de pasos que deben seguirse en orden, a la hora de encontrar o hallar cuál es la Fracción generatriz que proviene de un número decimal que cuente con estas características, y que pueden ser enumerados de la siguiente manera:
1.- Al tener un número decimal, cuyas unidades incompletas se repitan al infinito, justo después de la coma, se deberá comenzar por resumir el número, o en otras palabras, expresarlo de forma resumida, colocando entonces solamente la serie que lo conforma.
2.- En segundo lugar, cuando ya se tenga razón de cuántos elementos conforman el período que constituyen las unidades incompletas del número decimal, se comenzará por buscar la Fracción generatriz. Para esto, se anotará, en el espacio designado para el Numerador, el número decimal completo: su parte entera y su período, sin la coma.
3.- Acto seguido, a este número decimal completo se le restará el valor que número entero que puede encontrarse en este número.
4.- Por su parte, en el Denominador se anotarán tantos números nueve como elementos haya tenido en sus unidades incompletas el número decimal.
5.- Obtenida la diferencia entre el número decimal sin coma menos la parte entera, la cual ocupará el numerador, y la cantidad total de nueves que corresponden en el Denominador, se da entonces como resuelta la operación. Es decir, se considera hallada la Fracción generatriz.
Ejemplos de cómo hallar la Fracción generatriz de un Decimal ilimitado periódico puro
Una vez se ha revisado esta definición, así como el método sugerido por las Matemáticas, a la hora de darle solución a esta operación, quizás ciertamente sea mucho más sencillo abordar cada uno de los ejercicios que pueden servir de ejemplo al procedimiento destinado a encontrar la Fracción generatriz de todo número decimal ilimitado periódico puro. A continuación, algunos de ellos:
Ejemplo 1
Hallar la Fracción generatriz del siguiente número: 0,888888….
Al comenzar el ejercicio, se deberá revisar las unidades incompletas –o parte decimal- de este número, pues son ellas la que dirán con sus características qué tipo de decimal es, y en consecuencia cuál es el procedimiento que deberá seguirse para determinar su Fracción generatriz. Una vez hecho, se observa cómo las unidades incompletas están conformadas por un número que se extiende al infinito, inmediatamente después de la coma. Por ende, se trata de un decimal ilimitado periódico puro. En consecuencia, lo primero que se hará será resumir el número:
Cuando se cumple con este paso, se puede entender entonces que el período de este número está conformado por un solo elemento. Se debe entonces proceder a ir construyendo la Fracción generatriz. Para eso, se colocará en el Numerador todo el número completo, después de suprimir la coma. También se deberá restar la parte entera. Sin embargo, como en este caso, la parte entera está constituida por el cero, este paso se elude. Se anota entonces simplemente el 8 como numerador, y como denominador un solo 9 equivalente al único elemento que tenía el número decimal en sus unidades incompletas:
Ejemplo 2
Hallar la Fracción generatriz del siguiente número: 2,212212212…
Igualmente, ante este número, en cuyas unidades incompletas se puede encontrar una serie de número que se repiten al infinito, lo primero que se hará, en pro de determinar su Fracción generatriz correspondiente será resumir el número, a fin de ver realmente cuántos elementos conforman la serie que se repite en él:
Al hacerlo, se concluye entonces que se trata de un número decimal que en sus unidades incompletas cuenta con un período, compuesto por tres elementos, que se ubican inmediatamente después de la coma, por lo que entonces se puede considerar como un número decimal ilimitado periódico mixto. A la hora de constituir su Fracción generatriz, se comenzará entonces por anotar en el Numerador el número completo, luego de suprimir la coma, menos los número que constituyan la parte entera de este número decimal:
En cuanto al Denominador, se anotarán tantos nueves como elemento haya tenido el período. En este caso, entonces se anotarán tres nueves como denominador:
Ejemplo 3
Hallar la Fracción generatriz del siguiente número: 456,998799879987…
Pese a la extensión de este número, tal como se debe proceder siempre en este tipo de casos, se comenzará por resumir el número, a fin de poder identificar bien sus partes: la entera y la decimal:
Al hacerlo, se determina que se trata de un Número decimal ilimitado puro, cuyas unidades incompletas están constituidas por cuatro elementos, que se repiten al infinito, y se encuentran ubicados inmediatamente después de que se coloca la coma. Por ende, a la hora de hallar su Fracción generatriz, se comenzará por anotar en el Numerador, el número completo, con la coma suprimida, y restarle a este número, la parte entera:
Finalmente, en el Denominador, se deberán anotar cuatro veces el número 9, por cada uno de los cuatro elementos que conforman el período que conforma la parte decimal de este número. Hecho esto, se considera resuelta la operación, es decir, hallada la Fracción generatriz:
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