Suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede entonces que también deba decidirse enfocar esta revisión teórica a cuatro distintas definiciones: Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas, por encontrarse directamente relacionadas con la propiedad que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Igualdades

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado las Igualdades como aquellas relaciones que se establecen entre dos o más elementos o términos, que resultan idénticos –o iguales- respecto a su valor total. Así mismo, la disciplina matemática ha señalado que el signo utilizado para explicar esta relación será el signo igual (=).

Por otro lado, en las igualdades podrán distinguirse igualmente dos distintos términos, que son las entidades entre las que se establece la igualdad, y que podrán ser descritos de la siguiente forma:

• Primer término: identificado como el elemento o conjunto de elementos, que se ubican de manera anterior al signo igual.
• Segundo término: por su parte, el segundo término de la igualdad será aquel conjunto de elementos que se disponer después del signo usado para expresar esta relación matemática.

También, las Matemáticas señalan cómo la naturaleza de estos términos podrá generar dos distintos tipos de igualdades, las cuales han sido explicadas de la siguiente manera:

• Igualdades numéricas: cuando los dos términos entre los que se establece la igualdad se encuentran constituidos completamente por elementos numéricos.
• Igualdades literales: la cual ocurre cuando en los términos entre los que se establece la igualdad no se identifican tan sólo números, sino que también se encontrarán elementos literales.

Ecuaciones

En segunda instancia, se lanzarán luces igualmente sobre la definición de Ecuaciones, las cuales han sido descritas, de forma general, como el tipo de ecuación literal, en donde ocurre que el elemento literal constituye una incógnita que debe ser despejada, y que cuenta tan sólo con una posible solución. A continuación, un ejemplo de este tipo de igualdades:

Suponiendo que se cuente con la siguiente expresión:   x + 2 = 8

Se puede optar por sustituir a x por distintos valores, a fin de determinar si la igualdad original se puede cumplir con cualquiera de ellos, o si por el contrario solo se cumple cuando x tiene un valor específico:

3 + 2 = 8 → 5 ≠ 8
4 + 2 = 8 → 6 ≠ 8
8 + 2 = 8 → 10 ≠ 8
6 + 2 = 8 → 8 = 8

Al hacerlo, se encuentra entonces que ciertamente la igualdad expresada sólo se cumple cuando x es igual a 6. Por ende, siendo una igualdad literal que cuenta con solo una solución para x, se considera que se trata de una ecuación. Por el contrario, si esta igualdad pudiera cumplirse con cualquier valor para x, entonces se trataría de una identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Por otro lado, también se traerá a capítulo la definición de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas entonces como aquellas igualdades literales, en donde el literal, además de constituir una incógnita con tan solo una posible solución, se encuentra elevado al cuadrado, siendo el valor de este exponente el máximo hallado en los literales con los que cuente esta igualdad literal. A continuación, un ejemplo de la forma reducida con la que pueden contar este tipo de ecuaciones:

ax² + bx + c = 0

Así mismo, las Matemáticas señalan que este tipo de ecuaciones pueden encontrarse conformadas por dos distintos tipos de componentes:

• Elementos: en esta categoría, la disciplina matemática diferencia entre dos subtipos: por un lado, se encontrarán los coeficientes a, b y c, los cuales estarán constituidos siempre por elementos numéricos; por otro, también existirá la presencia del literal, elemento este que representará la incógnita y que estará señalado por la letra x.
• Términos: dentro de las ecuaciones de segundo grado se podrán distinguir igualmente tres distintos términos, explicados entonces de la siguiente manera:

• ax² → término cuadrático, cuya misión específica será mostrar el grado de la ecuación.
• bx → término lineal.
• c → término independiente, el cual estará conformado por un elemento numérico, que no cuenta con la compañía de un elemento literal.

La presencia o ausencia de los términos que conforman la ecuación de segundo grado dará existencia también a dos distintos tipos de ecuaciones, explicadas de la siguiente forma:

• Ecuaciones de segundo grado incompletas: las cuales ocurren cuando el término lineal o el término independiente –o en ocasiones ambos- resultan nulos, situación que sucede cuando el coeficiente de estos términos es igual a cero. Con respecto al término cuadrático, este nunca podrá resultar nulo, puesto que entonces la ecuación no sería de segundo grado. Así también, las Matemáticas indican que esta clase de ecuaciones de segundo grado podrán contar con las siguientes formas:

ax²  + c = 0
ax² + b = 0
ax² = 0

• Ecuaciones de segundo grado completas: por otro lado, también podrá ocurrir que la ecuación de segundo grado cuente con todos sus términos, lo cual sucede cuando todos los coeficientes resultan distintos a cero, dando origen entonces a la siguiente igualdad literal:

ax² + bx + c = 0

Fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas

Por último, es importante señalar que las Matemática conciben dos distintas formas de abordar o solucionar ecuaciones de segundo grado completas: por un lado, existirá el método enfocado en encontrar el cuadrado perfecto equivalentes a este tipo de ecuación; por otro, también podrá ocurrir que la ecuación de segundo grado completa se solucione a través de la expresión conocida como fórmula general, y que cuenta con la siguiente forma:

En cuanto a esta fórmula será necesario señalar que las Matemáticas definen al radicando del radical, ubicado en el ámbito superior de la fórmula, como Discriminante, atribuyéndole al mismo tiempo  –según si presenta una naturaleza positiva, negativa o nula- la propiedad de revelar cuáles y cuántas son las posibles soluciones de la ecuación.

Suma de las soluciones de ecuaciones de segundo grado completas

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado, situación que es reconocida como una Ley matemática, así como una propiedad inherente a este tipo de ecuaciones, la cual dicta que siempre y en todo momento la suma de las soluciones de ecuaciones de segundo grado será igual al coeficiente de x, con signo contrario, entre el coeficiente de x²:

Ejemplos de suma de soluciones de ecuaciones de segundo grado

Empero, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre esta propiedad matemática, presente en las ecuaciones de segundo grado, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver cómo la suma de las soluciones de una ecuación de este tipo es igual entonces a lo que dicta la regla. A continuación, el siguiente ejercicio:

Resolver la siguiente ecuación: 2x² + 5x + 2 = 0

Lo primero que deberá hacerse es revisar cada uno de los términos de la ecuación de segundo grado, a fin de determinar si se trata de una ecuación completa o incompleta, pues esto determinará el procedimiento por medio del cual deberá resolverse. En este caso en específico, se determina entonces que se trata de una ecuación de segundo grado completa. Por lo tanto, se puede resolver por medio de la aplicación de la fórmula general:

Luego de haber resuelto esta ecuación de segundo grado completa, se procede entonces a sumar sus respectivas soluciones:

Al hacerlo, se puede observar que tal como señala la teoría, el resultado será entonces el coeficiente del término lineal bx, con signo contrario, entre el coeficiente del término cuadrático.

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