Previo a exponer algunos de los tantos ejemplos que pueden darse en torno al Binomio de un cuadrado, cuando este implica resta, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender cada uno de estos casos, dentro de su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
Así mismo, se delimitará esta revisión teórica a tan solo tres nociones, por ser las directamente relacionadas con los ejercicios que se expondrán posteriormente: Binomio, Producto notable y Binomio al cuadrado cuando implica resta. A continuación, cada uno de estos conceptos:
El binomio
De esta manera, podrá comenzarse por decir que el Binomio ha sido explicado por las Matemáticas como una expresión algebraica, compuesta por dos monomios o términos algebraicos que se suman o se restan. Es decir, por dos términos compuestos por elementos numéricos y literales que se multiplican entre sí, y que entre ellos sostienen operaciones de resta o suma.
Otra forma de explicar al binomio es como un polinomio de dos términos. A continuación, algunos ejemplos de este tipo de expresión:
2x – y =
4y2 + z=
a3 – 2 =
Productos notables
En segundo lugar, será necesario tener en cuenta el concepto de Productos notables, los cuales han sido explicados como un grupo de reglas matemáticas, cuyo principal objetivo es orientar el proceso de Factorización, para así lograr de forma más directa convertir un polinomio en un producto.
Así mismo, las Matemáticas han señalado que los Productos notables son un grupo de reglas o fórmulas matemáticas que permiten realizar la multiplicación entre polinomios, de forma mucho más directa, sin tener que realizarla término por término, lo cual además de traducirse en un ahorro de tiempo, reduce el riesgo de cometer errores.
Binomio de un cuadrado cuando implica resta
Finalmente, también se deberá pasar revista sobre el concepto de Binomio de un cuadrado cuando implica resta, el cual ha sido explicado, de forma general, como uno de los principales casos que pueden darse en torno a este producto notable, inherente a la elevación al cuadrado de un polinomio de dos términos.
De forma mucho más específica, este producto notable señala que siempre que se desee elevar al cuadrado un binomio, cuyos monomios se restan, entonces deberá entenderse que el resultado será siempre igual al primer término elevado al cuadrado, menos el doble del producto de los términos, más el segundo término elevado al cuadrado. Esta regla matemática puede expresarse en la siguiente fórmula:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplos de binomio de un cuadrado cuando implica resta
Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar la exposición de algunos ejemplos, que permitan ver de forma concreta cómo se debe aplicar este producto notable, cada vez que exista un binomio que implique resta elevado al cuadrado. A continuación, los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1
Resolver la siguiente operación:
(x – y)2 =
Lo primero que deberá hacerse, al momento de comenzar la solución de este ejercicio, es revisar la naturaleza de sus elementos. Hecho esto, se concluye que se trata de un polinomio de dos monomios o términos, que se encuentran restándose, y elevados al cuadrado. Por ende, para resolverlo se debe aplicar el producto notable pertinente:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Se comienza entonces por aplicar esta fórmula matemática al binomio que se desea resolver:
(x – y)2 = (x)2 – 2.x.y + (y)2
Se procede entonces a resolver las operaciones que han quedado planteadas, luego de que se aplicara la fórmula señalada por el producto notable:
(x)2 – 2.x.y + (y)2 = x2 – 2xy + y2
Por último, se expresa la solución obtenida:
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Ejemplo 2
Resolver la siguiente potencia:
(2x – 3)2 =
En este caso, también será necesario comenzar por revisar los elementos que conforman el ejercicio, para así definir qué procedimientos deben aplicarse. Al hacerlo, se descubre que se trata de un binomio elevado al cuadrado, cuyos monomios se restan entre sí. Por ende, para solucionarlo se debe aplicar la fórmula dada por el producto notable pertinente:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Es decir, que el resultado será igual al cuadrado del primer término, menos el doble del producto de los términos, más el doble del producto al cuadrado:
(2x – 3)2 = (2x)2 – 2.(2x).(3) + (3)2
Se procede a resolver las distintas operaciones planteadas, luego de la aplicación de la fórmula:
(2x)2 – 2.(2x).(3) + (3)2 = 4x2 – 12x + 9
Por último, se expresa el resultado al cual se ha llegado:
(2x – 3)2 = 4x2 – 12x + 9
Ejemplo 3
Elevar el siguiente binomio al cuadrado:
(4x – 2y)2 =
Una vez se revisa el binomio que se debe elevar al cuadrado, es decir, multiplicarse por sí mismo, se descubre que se trata de un binomio, cuyos monomios se restan entre sí, y que está elevado al cuadrado. Por lo tanto, para resolver esta operación se debe aplicar el producto notable pertinente, el cual señala que toda operación de este tipo tiene como resultado el cuadrado del primer término, menos el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término.
Como primer paso entonces, se debe aplicar la fórmula que dicta el producto notable pertinente:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Se procede a aplicar la fórmula al ejercicio:
(4x – 2y)2 = (4x)2 – 2.(4x).(2y) + (2y)2
Así mismo, se resuelven las operaciones que se han planteado:
(4x)2 – 2.(4x).(2y) + (2y)2 = 16x2 – 16xy + 4y2
Imagen: pixabay.com
