Previo a exponer algunos ejemplos sobre la forma correcta de resolver todo Cubo de un trinomio, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender cada uno de estos ejemplos, dentro de su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
De esta manera, también se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Trinomio, Productos notables y Cubo de un trinomio, por encontrarse directamente relacionados con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Trinomio
Por consiguiente, podrá comenzarse por decir que el Trinomio puede ser explicado como una expresión algebraica, conformada por las distintas operaciones de suma o resta, que suceden entre tres monomios, es decir, tres términos algebraicos, que se encuentran constituidos a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que ocurre una multiplicación, siendo esta la única operación que puede suceder entre ellos.
En consecuencia, se puede señalar que un Trinomio es básicamente un polinomio de tres términos. A continuación, algunos ejemplos sobre esta clase de expresión algebraica:
a + b + c =
2x3 + y2 + z =
4x + y + 2 =
Productos notables
Así también, será necesario tomar en cuenta la definición de Productos notables, los cuales han sido vistos como un conjunto de normas matemáticas, que se encuentran dirigidas a la factorización, o en otras palabras, al proceso por medio del cual se toma un polinomio, y se expresa como un producto.
Por consiguiente, se tendrá que el objetivo de los productos notables es proporcionar fórmulas matemáticas, que permitan la realización de multiplicaciones entre polinomios de forma directa, y sin la necesidad de multiplicar cada uno de los miembros. Este tipo de métodos o procesos permiten que se ahorre tiempo, mientras que evitan que se cometan errores, o al menos se reduzca la posibilidad de cometerlos.
Cubo de un trinomio
Por último, también será necesario pasar revista sobre el concepto de Cubo de un trinomio, el cual será explicado como uno de los tantos productos notables, que concibe el Álgebra.
De forma precisa, el Cubo de un trinomio es una regla matemática que indica cuál es la forma directa de elevar un trinomio al cubo, o lo que es igual: multiplicarlo por sí mismo tres veces. Sin embargo, es necesario señalar que las Matemáticas no conciben una sola forma directa de llevar a cabo esta multiplicación, sino que por lo menos considera cuatro distintas maneras. A continuación, cada una de las fórmulas planteadas:
Agrupación de términos: la cual plantea el agrupas los dos primeros trinomios, y expresarlos como elevados al cuadrado, multiplicando esta potencia por el otro trinomio:
(a + b + c)3 = (a + b + c).(a + b + c).(a + b + c)=
(a + b + c)2 . (a + b + c) =
(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc) . (a + b + c)=
a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 3b2c + 3ac2 + 3bc2 + 6abc
Identidad de Gauss: así mismo, las Matemáticas plantean que se puede usar esta identidad notable, para resolver el cubo de un trinomio:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3.(a + b + c).(ab + ac + bc) – 3abc
Otras fórmulas: además se conciben otras dos fórmulas:
1.- (a + b + c)3 = 3(a + b +c) . (a2 + b2 + c2) – 2.(a3 + b3 + c3) + 6abc
2.- (a + b +c)3 = a3 + b3 + c3 + 3.(a + b) . (b + c) . (a + c)
Ejemplos de cómo resolver el Cubo de un trinomio
Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar la exposición de algunos ejemplos sobre la forma correcta de dar solución a este tipo de operación.
Empero, ya que las Matemáticas plantean cuatro distintas formas de resolverlo, se tomará un trinomio elevado al cubo, y se resolverá con cada una de las cuatro fórmulas posibles, con el fin de comprobar que realmente se llega al mismo resultado. Por ende, se tomará un trinomio, que esté elevado al cubo, y se solucionará dicha operación por medio del método de agrupación de términos, así como por la Identidad de Gauss, y también por medio de las otras dos formas o fórmulas matemáticas alternativas. A continuación, los siguientes ejercicios:
Resolver la siguiente operación:
(x + 2y + 3)3 =
Resolución por medio del método de la agrupación de términos
En primer lugar, se buscará resolver esta operación por el método que permite agrupar dos de los tres trinomios que surgen cuando se expresa la potencia como un producto. Se resuelve entonces el trinomio al cuadrado, y se multiplica por el trinomio. Este método se puede hacer paso por paso, o de forma un poco más directo, aplicando la fórmula matemática que se origina después de agrupar términos y multiplicarlos. En consecuencia, para llevar a cabo este método en el ejercicio dado, se comenzará entonces por aplicar la fórmula:
a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 3b2c + 3ac2 + 3bc2 + 6abc
(x + 2y + 3)3 = (x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x)2.(2y) + 3(x)2.(3) + 3.(x).(2y)2 + 3.(2y)2.(3) + 3.(x).(3)2 + 3.(2y).(3)2 + 6.(x).(2y).(3)
Hecho esto, se procede entonces a resolver cada una de las operaciones planteadas. Es importante recordar que antes de proceder a multiplicar, es mejor encargarse de resolver las potencias planteadas, para así evitar errores:
(x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x)2.(2y) + 3(x)2.(3) + 3.(x).(2y)2 + 3.(2y)2.(3) + 3.(x).(3)2 + 3.(2y).(3)2 + 6.(x).(2y).(3) =
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 3(x).(4y2) + 3.(4y2).(3) + 3.(x).(9) + 3.(2y).(9) + 24xy=
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 24xy
Se procede a declarar el ejercicio resuelto:
(x + 2y + 3)3 = x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 24xy
Resolución por medio de la Identidad de Gauss
En segundo lugar, también se buscará resolver este ejercicio por medio de la fórmula que plantea esta identidad notable, a fin de verificar que arroje el mismo resultado:
(x + 2y + 3)3 =
Para cumplir entonces con el propósito trazado, se comienza por aplicar al ejercicio la fórmula de esta identidad al trinomio elevado al cubo:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3.(a + b + c).(ab + ac + bc) – 3abc
(x + 2y + 3)3 = (x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x+2y+3) .(x.2y + x.3 + 2y.3) – 3(x.2y.3)
Se resuelven entonces las distintas operaciones_
(x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x+2y+3) .(x.2y + x.3 + 2y.3) – 3(x.2y.3)=
x3 + 8y3 + 27 + (3x + 6y + 9). (2xy + 3x + 6y) – 18xy=
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 18xy +12xy2 +18xy + 36y2 + 18xy + 27x + 54y – 18xy
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + (18xy + 18xy)=
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 36xy =
Efectivamente, se obtiene el mismo resultado:
(x + 2y + 3)3 = x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 36xy
Fórmula alternativa
Otras de las fórmulas que plantea las matemáticas para la solución del cubo de un trinomio es esta:
(a + b + c)3 = 3(a + b +c) . (a2 + b2 + c2) – 2.(a3 + b3 + c3) + 6abc
Se comienza entonces por aplicarla al ejercicio que se busca solucionar
(x + 2y + 3)3 = 3.(x + 2y + 3) . [(x)2 + (2y)2 + (3)2 – 2.[(x)3 + (2y)3 + (3)3 + 6.(x.2y.3)
Se resuelven igualmente las distintas operaciones que se han planteado:
3.(x + 2y + 3) . [(x)2 + (2y)2 + (3)2 – 2.[(x)3 + (2y)3 + (3)3 + 6.(x.2y.3)=
(3x + 6y + 9) . (x2 + 4y2 + 9) – 2.(x3 + 8y3 + 27) + 36xy =
3x3 + 12xy2 + 27x + 6x2y + 24y3 + 54y + 9x2 + 36y2 + 81 – 2x3 – 16y3 – 54 + 36xy =
(3x3 – 2x3) + (24y3 – 16y3) + (81-54) + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 36xy =
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 36xy
Igual que en los otros casos, esta fórmula arroja el mismo resultado, el cual debe ser expresado de la siguiente fórmula:
(x + 2y + 3)3 = x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 36xy
Otra fórmula alternativa
finalmente, también se deberá comprobar si la otra fórmula alternativa para la elevación de un trinomio a un cubo es igualmente efectiva. Para esto, se toma la operación planteada y se le aplica entonces la fórmula:
(a + b +c)3 = a3 + b3 + c3 + 3.(a + b) . (b + c) . (a + c)
(x + 2y + 3)3 = (x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x + 2y) . (2y + 3) . (x + 3)
Se deben resolver las operaciones planteadas:
(x)3 + (2y)3 + (3)3 + 3.(x + 2y) . (2y + 3) . (x + 3) =
x3 + 8y3 + 27 + 3.[(2xy + 3x + 4y2 + 6y) . (x + 3) =
x3 + 8y3 + 27 + 3 (2x2y + 6xy + 3x2 + 9x + 4xy2 + 12y2 + 6xy + 18y) =
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 18xy + 9x2 + 27x + 12xy2 + 36y2 + 18xy + 54y=
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + (18xy + 18xy) =
x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 36xy
Se obtiene exactamente el mismo resultado que en las fórmulas anteriores:
(x + 2y + 3)3 = x3 + 8y3 + 27 + 6x2y + 9x2 + 12xy2 + 36y2 + 27x + 54y + 36xy
En resumen, en estos ejemplos, se ha podido comprobar que cualquiera de las fórmulas, que decidan aplicarse a la solución del cubo de un trinomio, conducirá entonces al mismo resultado. Por ende, se puede aplicar cualquiera de ellas, aun cuando las más empleadas son entonces la que implica la agrupación de términos, por medio de la cual se expresa la potencia como producto, y se resuelve elevando al cuadrado un trinomio y multiplicándolo por el otro trinomio.
Así mismo, también se emplea con bastante regularidad la Identidad de Gauss. Por su lado, las otras dos fórmulas alternativas son menos comunes, pese a que también ofrecen formas bastante directas de multiplicar este polinomio de tres elementos por sí mismo, en tres oportunidades.
En consecuencia, ante todo trinomio elevado al cubo se emplean las dos primeras. De hecho, una buena forma de comprobar que el ejercicio ha sido resuelto correctamente es resolverlo por ambos métodos, y verificar que las dos maneras conducen a los mismos resultados. Si es así, se puede considerar resuelto y correcto el ejercicio. En muchas ocasiones para que esto suceda en necesario también reorganizar algunos elementos.
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