Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Productos notables, Diferencia de cubos, por encontrarse directamente relacionados con las definiciones que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Binomios

De esta manera, podrá comenzarse diciendo que los Binomios han sido explicados entonces como una expresión algebraica, compuesta en base a la suma o resta de dos monomios, es decir, de dos términos algebraicos, que se encuentran constituidos a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que existe una operación de multiplicación, siendo esta el único procedimiento matemático admitido entre ellos.

Igualmente, los monomios están conformados por cuatro elementos: Signo (el cual va delante del término, para señalar su naturaleza positiva o negativa), Coeficiente (constituido por un elemento numérico, que señala la cantidad por la cual debe ser multiplicado el literal), el elemento literal (conformado por una letra, que asume valores específicos en momentos determinados) y el Grado (señalado por el exponente al cual se encuentra elevado el litera, este señala la posición del término en el polinomio)

Otra explicación sobre los Binomios es que también pueden ser definidos como Polinomios de dos términos o monomios. Algunos ejemplos de esta expresión matemática serán los siguientes:

2x³ + y =
x + z =
4x – 2 =

Productos notables

Así mismo, se deberá pasar revista sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido explicados como un conjunto de reglas matemáticas, que tienen como objetivo orientar o permitir el proceso de factorización, el cual es explicado como el proceso a través del cual se logra tomar un polinomio y expresarlo como un producto.

En consecuencia, las distintas fuentes matemáticas también señalan que los Productos notables permiten la realización de multiplicaciones entre polinomios de forma directa, evitando que deba procesarse término por término, lo cual se traduce en un ahorro de tiempo, así como en la reducción de posibles errores.

Diferencia de cubos

Por último, también será necesario tener en cuenta la definición de Diferencia de cubos, el cual es tenido como uno de los tantos productos notables, que pueden encontrarse en torno a la factorización de polinomios.

De forma mucho más específica, la Diferencia de cubos señala que siempre que existe un binomio, en donde sus elementos se encuentran elevados al cubo –o al menos puedan expresarse de esta manera- y además se resten entre ellos, la factorización resultará siempre igual al producto de la resta de los términos por el cuadrado perfecto, es decir, por el primer término al cuadrado, más el producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Este producto notable puede ser expresado en la siguiente fórmula matemáticas:

a³ – b³ = (a – b) . (a² + ab + b²)

Ejemplos de Diferencias de cubos

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar la exposición de algunos ejemplos, que permitan ver de forma concreta cómo se debe proceder siempre que se quiera factorizar la resta de cubos. A continuación, los siguientes ejercicios:

Ejemplo 1

Factorizar el siguiente binomio:

x⁶ – 27 =

Lo primero que se hará, para dar cumplimiento a lo plateado por el ejercicio, es revisar la naturaleza de estos elementos. Al hacerlo, se concluye que pueden ser descompuesto en factores, que les permitan expresarse como cubos:

x⁶ = (x²)³ – 3³

Una vez se ha hecho esto, se obtiene entonces una diferencia de cubos. Por ende, si se quisiera factorizae este binomio, simplemente se debe aplicar le producto notable pertinente, es decir, se debe aplicar esta fórmula:

a³ – b³ = (a – b) . (a² + ab + b²)

(x²)³ – 3³ = (x² – 3) . [(x²)² + x² . 3 + 3²

Hecho esto, se resuelven las distintas multiplicaciones y potencias que ha sido planteadas:

(x² – 3) . [(x²)² + x² . 3 + 3² =  (x² – 3). (x⁴ + 3x² + 9)

Por último, se expresa el resultado de la factorización:

x⁶ – 27 = (x² – 3). (x⁴ + 3x² + 9)

Ejercicio 2

Descomponer en factores el siguiente monomio:

125x³ – 8 =

Lo primero que se hará será descomponer los elementos, para así poder expresarlos como cubos:

125x³ = (5x)³
8 = 2³

Así mismo, se expresa ahora el binomio como una diferencia de cubos:

(5x)³ – 2³ =

Ahora será necesario aplicar la fórmula correspondiente al producto notable:

a³ – b³ = (a – b) . (a² + ab + b²)

(5x)³ – 2³ = (5x – 2) . [(5x)² + 5x . 2 + 2²

Se toma entonces el resultado obtenido, y se resuelven las multiplicaciones y potencias planteadas:

(5x – 2) . [(5x)² + 5x . 2 + 2² = (5x – 2) . (25x² + 10x + 4)

Por último, se expresa el resultado obtenido:

125x³ – 8 = (5x – 2) . (25x² + 10x + 4)

Ejercicio 3

Factorizar el siguiente binomio:

x³ – 1 =

En este caso, se comienza igualmente, descomponiendo en factores los elementos, para así poder expresar el binomio como una diferenia de cubos. De esta manera, se obtienen los siguientes términos:

x³ = x³
1 = 1³

Se expresa entonces la operación como una Diferenia de cubos:

x³ – 1³ =

Por último, se factoriza, aplicando la fórmula matemática pertinente, según el producto notable

a³ – b³ = (a – b) . (a² + ab + b²)

x³ – 1³ = (x – 1) . (x² + x . 1 + 1²)

Se resuelven las operaciones y potencias planteadas:

(x – 1) . (x² + x . 1 + 1²) = (x – 1) . (x² + x +1)

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