Ejemplos de identidades de Cauchy

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se tomará también la decisión de delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Binomio, Productos e Identidades notables, Cubo de un binomio e Identidades de Cauchy, por encontrarse directamente relacionadas con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Binomio

De esta manera, podrá comenzarse por decir que el Binomio ha sido descrito como una expresión algebraica, constituida por la suma o la resta –siendo esta las únicas operaciones posibles- que ocurren entre dos monomios, es decir, entre dos términos algebraicos, que se encuentran a su vez constituidos por un término numérico y un término literal entre los que ocurre una multiplicación, siendo también esta operación la única admitida entre ellos.

Por ende, el Binomio puede ser también explicado como un polinomio de dos términos. A continuación, algunos ejemplos de esta clase de expresión algebraica:

x + y² =
3a² + 2b=
4x³ + 5 =

Productos e Identidades notables

En segundo lugar, también será necesario tomar un momento para pasar revista sobre el concepto de Productos e identidades notables, las cuales han sido explicadas como el conjunto de reglas matemáticas, orientadas a la factorización, es decir, al procedimiento matemático por medio del cual se logra expresar un polinomio como un producto.

De esta forma, los Productos e Identidades notables proporcionan fórmulas matemáticas, a través de las cuales se pueden resolver operaciones de productos entre polinomios, de forma directa, sin que deba realizarse entonces término por término, lo cual además de constituir un ahorro considerable de tiempo, permite evitar que se cometan errores en este tipo de operaciones.

En el caso de las identidades notables, tal como señalan algunas fuentes, no sólo son útiles a la hora de resolver operaciones de multiplicación entre polinomios, sino que incluso pueden ser empleadas para descomponer expresiones algebraicas, a fin de poder determinar de qué operación surgieron.

Cubo de un binomio

Otro de los conceptos que también deberá ser revisado es el de Cubo de un binomio, el cual es entendido entonces como uno de los principales productos notables que existen.

De forma mucho más específica, el Cubo de un binomio es una regla matemática que indica que toda vez que se desee elevar un binomio al cubo, es decir, multiplicarlo por sí mismo tres veces, entonces el resultado será siempre igual al cubo del primer término más el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo, más el triple del producto del primer término por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término. Esta ley matemática puede ser expresada por la siguiente fórmula:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Identidades de Cauchy

Finalmente, también será necesario pasar revista sobre el concepto de Identidades de Cauchy, la cual ha sido identificada como uno de los distintos tipos de identidades notables.

De esta manera, las Identidades de Cauchy constituirán una regla matemática, orientada a resolver de forma directa toda operación en donde se pretenda elevar al cubo un binomio. En ese caso, las identidades de Cauchy señalan que siempre que se quiera llevar a cabo esta operación, entonces el resultado será igual al cubo del primer término, más el cubo del segundo término, más el triple del producto de los términos por la suma de los mismos. Esta identidad puede ser expresada en la siguiente fórmula matemática:

 (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab.(a +b)

Ejemplos de las Identidades de Cauchy

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la exposición de algunos ejercicios, que pueden servir de ejemplo a esta identidad notable. A continuación, las siguientes operaciones:

Ejemplo 1

Resolver el siguiente ejercicio:

 (2x + 3y)³ =

Una vez planteada la operación, lo primero que debe hacerse es revisar la naturaleza de los términos. Al hacerlo, se encuentra entonces que se trata de la elevación al cubo de un binomio. Por ende, para resolverlo, se puede aplicar la Identidad de Cauchy. Para hacerlo, se comienza por aplicar la fórmula matemática que ella constituye:

(2x + 3y)³ = (2x)³ + (3y)³ + 3.(2x).(3y) . (2x + 3y)

Se busca entonces resolver las siguientes operaciones:

(2x)³ + (3y)³ + 3.(2x).(3y) . (2x + 3y) = 8x³ + 27y³ + 18xy . (2x + 3y)

8x³ + 27y³ + 18xy . (2x + 3y) = 8x³ + 27y³ +36x²y + 54xy²

Por último, se expresa el resultado:

(2x + 3y)³ = 8x³ + 27y³ +36x²y + 54xy²

Ejemplo 2

Resolver las siguientes operaciones:

(x + 2)³ =

Igualmente, en este caso, debe revisarse entonces la naturaleza de los términos. Al hacerlo, se determina que se trata de un binomio al cubo. En consecuencia, se puede optar, para su resolución, a la aplicación de las identidades de Cauchy. Por lo tanto, se comienza aplicando la fórmula en cuestión:

(x + 2)³ = (x)³ + (2)³ + 3.(x).(2).(x + 2)

Una vez planteada la fórmula, se procede entonces a resolver cada una de las siguientes operaciones:

(x)³ + (2)³ + 3.(x).(2).(x + 2) = x³ + 8 + 6x (x +2)

x³ + 8 + 6x (x +2) = x³ + 8 + 6x² + 12

Se organizan entonces los términos

x³ + 8 + 6x² + 12 → x³ + 6x² + 12 + 8 = x³ + 6x² + 20

Por último, se expresa entonces el resultado:

(x + 2)³ = x³ + 6x² + 20

Imagen: pixabay.com