Ejemplos de la propiedad de Idempotencia en la Intersección de conjuntos

En el ámbito del Álgebra de conjuntos, se conoce con el nombre de Idempotencia en la Intersección de conjuntos a una propiedad inherente a esta operación, la cual dicta como Ley matemática que en el momento en que un conjunto establece una intersección consigo mismo, el resultado será el propio conjunto: A ∩ A = A.

Definiciones fundamentales

Sin embargo, quizás antes de avanzar sobre los casos concretos que pueden servir de ejemplo a esta propiedad, sea mejor revisar algunas definiciones básicas, para poder entender esta Ley dentro de su contexto indicado:

Conjunto

En este sentido, tal vez lo más pertinente sea comenzar por la propia definición de Conjunto, el cual es visto por las Matemática como una colección abstracta de elementos, entre los cuales puede encontrarse un rasgo en común, y que cumplen con la tarea de definir de forma única y exclusiva al conjunto. Así mismo, esta disciplina señala que este tipo de objetos, es decir, los conjuntos responden a una forma específica de notación, la cual está constituida por tres parámetros específicos: los conjuntos deben ser nombrados según algunas letra mayúscula; sus elementos deben estar contenidos dentro de los signos de llaves { }; estos elementos deben ser presentados en forma de un listado, siendo separados a su vez por el signo de coma.

Operación de Intersección

Por otro lado, se vuelve necesario entender la operación del Álgebra de Conjuntos respecto a la cual surge la propiedad de la Idempotencia, y que recibe el nombre de Intersección de Conjuntos. En consecuencia, se puede decir que durante esta operación dos conjuntos tienen a bien establecer entre ellos una Intersección, en base a la cual surge un tercer conjunto en donde pueden leerse como elementos aquellos que resultan comunes a los conjuntos que han participado de la operación. La Intersección de conjuntos responde a la siguiente expresión:

A ∩ B =

Ejemplos de la Idempotencia en la Intersección

Teniendo en cuenta estas definiciones, será mucho más sencillo explicar las operaciones ligadas a la propiedad de Idempotencia, así como a la forma de comprobarla. A continuación, entonces, algunos de los casos que pueden servir de ejemplo a esta propiedad, inherente a la operación de Intersección entre conjuntos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por nombres masculinos que comiencen con la letra “j”: A= {Juan, Jonás, Jesús, Jaime, James, Jerónimo, Joaquín} comprobar si realmente se cumple la propiedad de Idempotencia en la operación de Intersección de conjuntos:

Para cumplir con esta solicitud, se deberá colocar al conjunto dado frente a sí mismo, estableciendo además una operación de intersección, viendo así el conjunto que se forma como resultado de esta operación:

A= {Juan, Jonás, Jesús, Jaime, James, Jerónimo, Joaquín}

A ∩ A=

A ∩ A= {Juan, Jonás, Jesús, Jaime, James, Jerónimo, Joaquín} ∩ {Juan, Jonás, Jesús, Jaime, James, Jerónimo, Joaquín}

A ∩ A= {Juan, Jonás, Jesús, Jaime, James, Jerónimo, Joaquín}

Al hacerlo, se puede ver cómo el resultado de establecer una Intersección entre el conjunto A y él mismo, da como resultado el propio conjunto A, por lo que puede considerarse comprobada la Propiedad de Idempotencia, por ende:

 A ∩ A= A

Ejemplo 2

Dado un conjunto B, en donde puedan contarse como elementos nombres de animales mamíferos: B= {Perro, Vaca, Gato, Oso, León, Tigre, Pantera} establecer una relación de Intersección con él mismo, a fin de comprobar si en efecto se cumple la operación de la Idempotencia:

A fin de dar cumplimiento a lo que reza este postulado, será necesario entonces realizar una operación de Intersección entre el conjunto B y él mismo, a fin de evaluar el conjunto resultante, y ver si efectivamente puede hablarse de la propiedad de Idempotencia en este caso:

B= {Perro, Vaca, Gato, Oso, León, Tigre, Pantera}

B ∩ B =

B ∩ B = {Perro, Vaca, Gato, Oso, León, Tigre, Pantera} ∩ {Perro, Vaca, Gato, Oso, León, Tigre, Pantera}

B ∩ B =  {Perro, Vaca, Gato, Oso, León, Tigre, Pantera}

Al revisar el resultado de esta operación, se puede ver entonces cómo al establecer una relación de Intersección de conjunto B con él mismo, se obtiene como resultado el propio conjunto B, por lo que se considera comprobada nuevamente la propiedad de Idempotencia, puesto que B ∩ B = B.

Ejemplo 3

Dado un conjunto C, constituido por números pares: C= {2, 10, 20, 26, 14, 4, 8} comprobar si al someter a este conjunto a una operación de Intersección consigo misma, se puede hablar también de propiedad de Idempotencia con respecto a esta operación:

Igualmente se deberá proceder a colocar a este conjunto frente a sí mismo, a fin de someterlo a una operación de intersección, para que una vez obtenido el conjunto resultante, se pueda comprobar si ha tenido lugar o no la Ley de Idempotencia:

C= {2, 10, 20, 26, 14, 4, 8}

C ∩ C =

C ∩ C = {2, 10, 20, 26, 14, 4, 8} ∩ {2, 10, 20, 26, 14, 4, 8}

C ∩ C = {2, 10, 20, 26, 14, 4, 8}

Una vez hecha la operación, se puede ver cómo al someter a este conjunto C a una Intersección con él mismo, se obtiene como resultado el propio conjunto C, lo cual puede ser expresado matemáticamente de la siguiente manera: C ∩ C = C, hecho que sirve para comprobar así mismo la Propiedad de Idempotencia, respecto a la Intersección de conjuntos.

Imagen: pixabay.com

Ejemplos de la propiedad de Idempotencia en la Intersección de conjuntos
Source: Ejemplos   Matemáticas  
junio 24, 2017
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