Propiedad Distributiva (Intersección de conjuntos)

En este sentido, se puede comenzar por decir, que esta propiedad se asume relacionada no sólo con la Intersección, sino también con la Unión de conjuntos, puesto que su postulado central afirma que en todo momento la Intersección que establece un conjunto A con la Unión sucedida entre el conjunto B y el conjunto C resulta equivalente a la Unión que puede establecerse entre las respectivas intersecciones que puede establecer A con el conjunto B y el conjunto C. Propiedad esta que puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)

Ejemplos de la Propiedad Distributiva en la intersección

En consecuencia, tal vez resulte mucho más sencillo asimilar las distintas operaciones que puede verse en cada uno de los ejercicios que se mostrarán a continuación, y que están orientados a comprobar si lo que reza esta propiedad matemática en realidad sí se cumple. Así mismo, se hace imprescindible traer a colación que, para el Álgebra de conjuntos, la operación de Unión será aquella en donde dos o más conjuntos se unen, dando como consecuencia un conjunto en donde pueden contarse la totalidad de los elementos de las colecciones que participaron de la operación (A∪B= │A│ + │B│) mientras que la Intersección de conjuntos es tenida como la operación que ocurre para dar paso a un conjunto conformado únicamente por aquellos elementos que resultaron comunes entre los conjuntos respecto a los cuales se realizó la operación. A continuación, los distintos ejemplos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, en donde se puedan contar como elementos nombres femeninos que comienzan por la letra “d”:  A= {Dayana, Dora, Deysi, Diana, Dalhia}; un conjunto B, constituido por nombres femeninos que terminen por la letra “a”:  B= {Paola, Dayana, Cecilia, Teresa, Patricia, Dora} y un tercer conjunto C, conformado por nombres femeninos en general: C= {Delcy, Deysi, Paola, Tamara, Dora, Teresa, Claudia} comprobar si realmente se cumple la Propiedad Distributiva en las operaciones de Intersección de conjuntos.

Para dar cumplimiento a esta solicitud, será necesario resolver las distintas operaciones establecidas en el postulado de la Propiedad Distributiva: A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C) recordando además que esta ley matemática se da en la Intersección de conjuntos, pero respecto a la unión. A continuación, las operaciones:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)

A= {Dayana, Dora, Deysi, Diana, Dalhia}
B= {Paola, Dayana, Cecilia, Teresa, Patricia, Dora}
C= {Delcy, Deysi, Paola, Tamara, Dora, Teresa, Claudia}
Se resolverá la primera operación: A ∩ (B ∪ C) =

B ∪ C= {Paola, Dayana, Cecilia, Teresa, Patricia, Dora} ∪ {Delcy, Deysi, Paola, Tamara, Dora, Teresa, Claudia}
B ∪ C= {Paola, Dayana, Cecilia, Teresa, Patricia, Dora, Delcy, Deysi, Tamara, Claudia}

A ∩ (B ∪ C) =  {Dayana, Dora, Deysi, Diana, Dalhia} ∩ {Paola, Dayana, Cecilia, Teresa, Patricia, Dora, Delcy, Deysi, Tamara, Claudia}
A ∩ (B ∪ C) = {Dayana, Dora, Deysi}
A continuación, se resolverá la segunda operación: (A ∩ B) U (A ∩ C)

A ∩ B = {Dayana, Dora, Deysi, Diana, Dalhia} ∩ {Paola, Dayana, Cecilia, Teresa, Patricia, Dora}
A ∩ B = {Dayana, Dora}

A ∩ C= {Dayana, Dora, Deysi, Diana, Dalhia} ∩ {Delcy, Deysi, Paola, Tamara, Dora, Teresa, Claudia}
A ∩ C= {Dora, Daysi}

(A ∩ B) U (A ∩ C)= {Dayana, Dora} ∪ {Dora, Daysi}

(A ∩ B) U (A ∩ C)= {Dayana, Dora, Daysi}

Al hacerlo, se puede observar cómo realmente las equivalencias planteadas por la Propiedad Distributiva en la Intersección de conjuntos se cumplen, tal como lo indica esta Ley:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)
{Dayana, Dora, Daysi} = {Dayana, Dora, Daysi}

Ejemplo 2

Dado un conjunto A, conformado por países que comiencen con la letra “a”: A= {Antigua y Barbuda, Angola, Arabia saudita, Argentina, Alemania}; un conjunto B, en donde se puede tener como elementos nombres de países de América: B= {Venezuela, Colombia, Argentina, Surinam, Antigua y Barbuda, Perú} y un conjunto C, constituido por países en general: C= {Alemania, Venezuela, Argentina, Colombia, Francia, Dinamarca, Antigua y Barbuda, Inglaterra} comprobar si realmente se cumple la Propiedad Distributiva respecto a la Unión en la Intersección:

Para esto, igualmente se deberá realizar cada una de las operaciones que señala el postulado de esta propiedad:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)

A= {Antigua y Barbuda, Angola, Arabia saudita, Argentina, Alemania}
B= {Venezuela, Colombia, Argentina, Surinam, Antigua y Barbuda, Perú}
C= {Alemania, Venezuela, Argentina, Colombia, Francia, Dinamarca, Antigua y Barbuda, Inglaterra}

Se deberá cumplir la primera operación: A ∩ (B ∪ C) =

B ∪ C= {Venezuela, Colombia, Argentina, Surinam, Antigua y Barbuda, Perú} ∪ {Alemania, Venezuela, Argentina, Colombia, Francia, Dinamarca, Antigua y Barbuda, Inglaterra}
B ∪ C= {Venezuela, Colombia, Argentina, Surinam, Antigua y Barbuda, Perú, Alemania, Francia, Dinamarca, Inglaterra}

A ∩ (B ∪ C) =  {Antigua y Barbuda, Angola, Arabia saudita, Argentina, Alemania} ∩ {Venezuela, Colombia, Argentina, Surinam, Antigua y Barbuda, Perú, Alemania, Francia, Dinamarca, Inglaterra}
A ∩ (B ∪ C) =   {Antigua y Barbuda, Argentina, Alemania}

Así también, se debe cumplir la segunda operación: (A ∩ B) U (A ∩ C)=

A ∩ B = {Antigua y Barbuda, Angola, Arabia saudita, Argentina, Alemania} ∩ {Venezuela, Colombia, Argentina, Surinam, Antigua y Barbuda, Perú}
A ∩ B = {Antigua y Barbuda, Argentina}

A ∩ C= {Antigua y Barbuda, Angola, Arabia saudita, Argentina, Alemania} ∩ {Alemania, Venezuela, Argentina, Colombia, Francia, Dinamarca, Antigua y Barbuda, Inglaterra}
A ∩ C= {Antigua y Barbuda, Argentina, Alemania}

(A ∩ B) U (A ∩ C)= {Antigua y Barbuda, Argentina} ∪ {Antigua y Barbuda, Argentina, Alemania}

(A ∩ B) U (A ∩ C)= {Antigua y Barbuda, Argentina, Alemania}

En efecto, se puede constatar cómo se cumplen las equivalencias señaladas por la Propiedad Distributiva en la Intersección de conjuntos, por ende se demuestra también esta propiedad matemática:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)
{Antigua y Barbuda, Argentina, Alemania} = {Antigua y Barbuda, Argentina, Alemania}

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