Definiciones fundamentales

Sin embargo, antes de avanzar sobre aquellos casos concretos, que pueden servir de ejemplo a esta operación, propia del Álgebra de conjuntos, quizás lo mejor sea fijar la atención en una serie de conceptos básicos, que permitirán entender cada uno de estos ejercicios dentro de su contexto adecuado:

Conjunto

En este sentido, tal vez la primera definición que deba revisarse será aquella concerniente al propio Conjunto, el cual es entendido como una colección abstracta, constituida por elementos, entre los cuales pueden distinguirse un rasgo en común, que permite identificarlos como una agrupación, que responde a la misma naturaleza. Así mismo, las Matemáticas han señalado que estos elementos, además de conformar al Conjunto, también lo definen.

Conjunto Universal

Otra definición que puede cobrar gran importancia, en lo que se refiere al Conjunto complementario, puede ser el Conjunto Universal, el cual a su vez es concebido por el Álgebra de conjuntos como aquella colección, que contiene de forma plena, todos los elementos de un universo delimitado, el cual es elegido según la conveniencia, o realidad de la cual se quiera dar cuenta. En el caso del Conjunto complementario, el Conjunto Universal servirá de referencia, para determinar cuáles son los elementos que no están en el Conjunto, es decir, que constituyen el Conjunto complementario.

Ejemplo de Propiedad Involutiva

Teniendo estas definiciones presentes, será mucho más sencillo aproximarse entonces a cada uno de los ejercicios que pueden ser usados como ejemplos de Propiedad involutiva, como estos que se ofrecen a continuación:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, constituido por nombres femeninos que comienzan por la letra “g”: A= {Giordana, Gladys, Georgina, Graciela, Gabriela} comprobar cómo se cumple la Propiedad Involutiva, considerando el siguiente Conjunto Universal: U= {Gabriela, Gema, Geraldine, Giordana, Gladys, Gertrudis, Graciela, Georgina, Graciela}

Para cumplir con la solicitud hecha por este postulado, se deberá entonces comenzar por determinar cuál es el Conjunto complementario de esta colección, por lo que se establecerá una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el Conjunto dado:

A= {Giordana, Gladys, Georgina, Graciela, Gabriela}
U= {Gabriela, Gema, Geraldine, Giordana, Gladys, Gertrudis, Graciela, Georgina, Graciela}

A^∁= U\\A

A^∁= {Gabriela, Gema, Geraldine, Giordana, Gladys, Gertrudis, Graciela, Georgina, Graciela} \\ {Giordana, Gladys, Georgina, Graciela, Gabriela}

A^∁= {Gema, Geraldine, Gertrudis}

Obtenido este primer Conjunto complementario, se deberá calcular a su vez su complementario, lo cual se hará calculando la Diferencia entre el Conjunto Universal y este primer complementario:

(A^∁)^∁= U\\ A^∁

(A^∁)^∁= {Gabriela, Gema, Geraldine, Giordana, Gladys, Gertrudis, Graciela, Georgina, Graciela} \\ {Gema, Geraldine, Gertrudis}

(A^∁)^∁= {Gabriela, Giordana, Gladys, Graciela, Georgina, Graciela}

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo el Complementario del Complementario, termina por ser equivalente al conjunto A, aun cuando haya cambiado el orden de algún elemento. Por ende ha quedado comprobada la Propiedad involutiva del Conjunto complementario:

(A^∁)^∁= A

{Gabriela, Giordana, Gladys, Graciela, Georgina, Graciela} = {Gema, Geraldine, Gertrudis}

Ejemplo 2

Dado el conjunto B, conformado por nombres de frutas, que comienzan por “m”: B= {Melocotón, Melón, Mandarina, Mango} comprobar cómo se cumple la Propiedad involutiva del Conjunto complementario, tomando en cuenta que el Conjunto Universal será el siguiente: U= {Mamoncillo, Melocotón, Merey, Maní, Membrillo, Mango, Mandarina, Melón}.

B= {Melocotón, Melón, Mandarina, Mango}
U= {Mamoncillo, Melocotón, Merey, Maní, Membrillo, Mango, Mandarina, Melón}

B^∁ = U\\B

B^∁ = {Mamoncillo, Melocotón, Merey, Maní, Membrillo, Mango, Mandarina, Melón} \\ {Melocotón, Melón, Mandarina, Mango}

B^∁ = {Mamoncillo, Merey, Maní, Membrillo}

(B^∁)^∁ = U\\B^∁

(B^∁)^∁ = {Mamoncillo, Melocotón, Merey, Maní, Membrillo, Mango, Mandarina, Melón} \\ {Mamoncillo, Merey, Maní, Membrillo}

(B^∁)^∁ = {Melocotón, Mango, Mandarina, Melón}

(B^∁)^∁ = B

{Melocotón, Mango, Mandarina, Melón} = {Melocotón, Melón, Mandarina, Mango}

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