Antes de abordar una exposición sobre algunos de los ejemplos que se pueden encontrar en relación con la Magnitud proporcional a otras varias, puede que lo mejor sea revisar algunos conceptos, que de seguro permitirán entender esta clase de relaciones y proporciones, en su justo contexto matemático.
Definiciones fundamentales
En este sentido, puede que también lo más conveniente sea delimitar esta revisión teórica a seis nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes, Magnitudes directamente proporcionales y Magnitud proporcional a otras varias, por encontrarse estrechamente relacionada con los ejercicios que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Razones
Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones han sido definidas por las Matemáticas como aquel tipo de expresiones, que cumplen con la función de señalar el cociente que existe entre dos números, es decir, que las razones indican cuántas veces se encuentra contenido el Divisor entre el Dividendo. Algunos ejemplos de este tipo de expresiones serán las siguientes:
Según lo indicado por las Matemáticas, las Razones se encuentran conformadas por dos elementos: el primero de ellos, el Antecedente, el cual ocupa el ámbito superior de la Razón, mientras se encarga de señalar el Dividendo; por otro lado, el Consecuente ocupa el ámbito inferior de esta expresión, encargándose de señalar el Divisor.
Así mismo, la disciplina matemática ha advertido sobre la importancia de no confundir Razones con Fracciones, pues a pesar del gran parecido que existe en cuanto a sus estructuras, en realidad estas expresiones se encuentran conformadas por elementos distintos, al tiempo que dan cuenta de situaciones matemáticas diferentes. Por ende, la mayoría de los autores refieren que las Razones –conformadas por el Antecedente y el Consecuente- señalan el cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –constituidas por el Numerador y el Denominador- indican cuántas partes se han tomado respecto a una unidad que se ha dividido previamente en un número de partes iguales.
Proporciones
En segunda instancias, también será importante lanzar luces sobre el concepto de Proporciones, las cuales han sido explicadas como la relación de igualdad que existe entre dos razones, por ende, dos razones iguales serán dos razones proporcionales. A continuación, un ejemplo de este tipo de relación entre razones:
Al revisar cada una de estas expresiones, podrá verse cómo pese a que ninguno de sus elementos coincide con otro en cuanto a su valor, estas pueden considerarse iguales, o proporcionales, en tanto que si se resolvieran, ambas arrojarían un cociente igual a 2. De esta manera, estas razones son proporcionales puesto que constituyen proporciones del mismo cociente.
Empero, esta no es la única forma en que las Matemáticas tiene para comprobar si dos razones son o no proporcionales, pues para este propósito también puede aplicarse el método de los Extremos y los Medios. Para esto, entonces se multiplicarán entre sí los Extremos –es decir, el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- así como los Medios –el Consecuente de la primera expresión por el Antecedente de la segunda expresión. Si estas multiplicaciones arrojan el mismo producto, entonces las razones pueden considerarse proporcionales:
Este atributo de las razones proporcionales, se conoce como una de las dos principales leyes de las proporciones, y puede resultar bastante útil toda vez que se desee conocer alguno de los elementos de estas expresiones iguales, que se presente como desconocido, pues una vez planteada la proporción, para despejar el incógnito, se deberá simplemente aplicar un ejercicio de la Regla de tres simple directa, multiplicando entonces los dos elementos del ámbito que se encuentra completo, sea este el de los extremos o los medios, para luego tomar este producto y dividirlo entre el único elemento que se conoce del ámbito que se busca completar. El resultado será el elemento que completa correctamente la proporción:
Magnitudes
Así también, será de provecho tomar un momento para traer a capítulo la definición de Magnitudes, las cuales han sido explicadas como el conjunto de elementos, en donde se puede encontrar la propiedad o capacidad de sumarse, compararse u ordenarse con respecto a otras unidades o magnitudes que le resulten semejantes, es decir, iguales en cuanto a su naturaleza.
Magnitudes directamente proporcionales
Con respecto al concepto de este tipo de Magnitudes, las distintas fuentes matemáticas coinciden en definidas como el par o conjunto de dos Magnitudes, en donde se ve la propiedad de que cuando una de ellas se multiplica por o divide entre un factor específico, la otra se ve afectada en el mismo sentido por el mismo factor, o en otras palabras, que también se multiplicaría o dividiría por el mismo factor, a fin de cumplir con la relación directa y proporcional que la une a la primera Magnitud.
Magnitud proporcional a otras varias
Por último, también será necesario tomar un momento para revisar la definición de Magnitud proporcional a otras varias, relación que ha sido explicada básicamente como a relación proporcional que existe entre tres magnitudes, en tanto una de ellas se mantenga fija, y las otras dos se relacionen de manera directa proporcional.
Por ende, aun cuando la proporción es definida por las Matemáticas como la relación de igualdad que existe entre dos razones, en el caso de la Magnitud proporcional a otras varias, la proporción se puede establecer entre tres diferentes magnitudes. Para lograr que esto sea posible, se deberá proceder de la siguiente manera, siempre que exista un problema de magnitudes directamente proporcionales en donde se encuentren involucradas tres magnitudes:
- Se tomarán las tres magnitudes, y se decidirá cuál de ellas permanecerá fija.
- Con las otras dos, se establecerá la proporcionalidad, multiplicándolas o dividiéndolas también por el mismo factor.
- En tercer lugar, se construirá la proporción que se ha construido con las razones construidas por los dos valores que han tomado las magnitudes proporcionales no fijadas, es decir, la original y también la que se ha logrado construir.
- Seguidamente se cambiará la magnitud que se ha fijado, y se escogerá otra. Nuevamente se construirá otra proporción, con las nuevas magnitudes que se han escogido como proporcionales.
- Se multiplicarán entonces las dos proporciones encontradas. Esta multiplicación llevará a multiplicar las primeras razones de la proporción, y por otro lado las segundas.
- Por lo general, las segundas proporciones contarán con elementos idénticos, por lo que entonces se pueden eliminar entre sí, dando lugar a una sola razón.
- De esta manera, se tendrán tres razones, que constituyen la Magnitud proporcional a otras varias, y que establecen también una proporción conformada por tres magnitudes.
Ejemplos de Magnitud proporcional a otras varias
Empero, puede que la mejor manera de completar una explicación sobre este tipo de proporción sea revisando un casos concreto, que permita ver cómo se aplica en la práctica el método matemático para darle solución a los problemas relacionados a Magnitud proporcional a otras varias, tal como puede verse a continuación:
Ejemplo 1
En una fábrica, existe un total de 10 máquinas, las cuales son capaces de producir en 4 horas de trabajo un total de 100 lápices, ¿Cuántos lápices se fabricarían si aumenta el número de horas, manteniendo el número de máquinas? ¿Cuántos lápices se fabricarían si en cambio se mantiene el mismo número de horas de trabajo, pero aumenta el número de máquinas?
En este caso se cuenta entonces con tres magnitudes, las cuales pueden establecer relaciones directamente proporcionales, pues si una aumenta las otras también. No obstante, como la proporción siempre se establece entre dos proporciones, será necesario construir una proporción con tres magnitudes. Para esto se comenzará por plantear las magnitudes, y decidir cuál de ellas se tomará como fija.
Cómo la primera pregunta quiere entender la relación proporcional entre horas de trabajo y el número de lápices, manteniendo el número de máquinas, entonces esta última magnitud es la que se mantendrá fija, mientras que la proporción se mantendrá entre las otras dos:
Número de máquinas
Número de horas de trabajo Número de lápices 10 4 100
Como la magnitud que se ha fijado es el número de máquinas, se construye la proporción con las otras dos magnitudes, por lo que entonces se buscará multiplicar estas magnitudes por el mismo factor, en este caso por 2.
Número de máquinas
Número de horas de trabajo Número de lápices 10 4 100
10 8 200
Se construye entonces la primera proporción, construyendo razones con las magnitudes directamente proporcionales:
Proporción construida cuando se fija la magnitud igual a 10:
Por otro lado, la segunda pregunta sugiere fijar la Magnitud referente al número de horas de trabajo, estableciendo entonces una proporción entre el número de máquinas y el número de lápices fabricados. Para esto se hará proporción tomando en cuenta la última proporción construida entre estas magnitudes, cuando la magnitud fijada era entonces el número de máquinas:
Número de máquinas
Número de horas de trabajo Número de lápices 10 8 200
Se procede entonces a multiplicar las Magnitudes no fijas (Número de máquinas y Número de lápices) por tres:
Número de máquinas Número de horas de trabajo Número de lápices
10 8 200
30 8 600
Con estos nuevos datos se construye la segunda proporción:
Proporción cuando la magnitud fijada es igual a 8:
El siguiente paso será entonces multiplicar las dos proporciones:
Se deben entonces multiplicar las primeras razones entre ellas, y hacer igual con las segundas:
En las segundas proporciones, el Consecuente de la primera de estas razones coincide con el Antecedente del segundo, por lo que entonces se pueden eliminar:
El resultado entonces dará una proporción constituida por tres magnitudes. Con respecto a las respuestas exigidas en el problemas, se tendrán los siguientes resultados:
Si el número de máquinas se mantiene fija, pero se multiplica por dos el número de horas de trabajo se logrará entonces fabricar un total de 200 lápices. En cambio, si luego de haber multiplicado el número de horas de trabajo, si se toma esta nueva magnitud como fija, y se parte del número de lápices que ya se fabrican después del cambio, entonces se tendrá que si se multiplican por 3 el número de máquinas, entonces se lograrán fabricar 600 lápices.
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