Definiciones fundamentales

No obstante, antes de abordar los distintos casos que pueden servir de ejemplo a este tipo de polinomios, será necesario revisar algunas definiciones inherentes a la naturaleza de estas expresiones, así como de los elementos que la conforman. A continuación, algunas de ellas:

Polinomio

En este sentido, resulta pertinente empezar por la propia definición de polinomio, el cual es entendido por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, conformada por un grupo finito de monomios entre los que se establecen sumas. Sin embargo, esta disciplina matemática también ha señalado que entre los diferentes monomios pueden ocurrir también operaciones de resta o multiplicación, quedando por fuera solamente las operaciones de división.

Elementos del polinomio

Igualmente, pese a que el polinomio se considera conformado por monomios que se suman entre sí, el Álgebra elemental indica que en estas expresiones algebraicas de tipo polinómico pueden contarse también cuatro elementos esenciales, cada uno de los cuales tiene su propia definición y función dentro del polinomio:

• Términos: es el nombre que recibe cada uno de los sumandos del polinomio, tanto si son monomios como términos independientes.
• Coeficientes: por su parte, los coeficientes serán aquellos elementos numéricos que acompañan a la variable, multiplicándola.
• Términos independientes: se trata de elementos numéricos que no se encuentran acompañados de ninguna variable. Su grado es cero.
• Grado del polinomio: por último el grado del polinomio será un elemento constituido por el grado del máximo valor que pueda verse en alguno de sus términos.

Orden del polinomio

Por otro lado, se denomina orden del polinomio, o polinomio ordenado, a la operación algebraica que se realiza en pro de disponer los distintos términos de la expresión, según los valores de los grados que pueden verse en cada uno de ellos. De acuerdo al orden que asuma, se pueden distinguir dos posibilidades: orden ascendente, cuando los términos se ubican desde aquel en donde se ha determinado el grado menor hasta el término de mayor grado; orden ascendente, aquel que es dispuesto desde el grado mayor hasta el menor.

Ejemplos de polinomio completo

En cuanto a los casos que pueden servir de ejemplo a esta clase de polinomio, caracterizado por la secuencia ininterrumpida que puede darse en base al valor de sus grados, es necesario decir que casi siempre para comprobar que se trata de un polinomio completo o no se requieren realizar algunas operaciones inherentes, como aquellas dirigidas a determinar el valor del grado de cada polinomio, así como las de ordenamiento de estos términos, operación que será la que permita observar con claridad si realmente existe una secuencia o no. Sin embargo, la mejor forma de entender cada uno de los pasos y características inherentes a este tipo de polinomio, será a través de algunos ejemplos concretos, tal como los que se muestran a continuación:

Dado el polinomio P_(x)= 4x – 4 + 3x² – 5x³ + 5x⁵ – x⁴ determinar si es un polinomio completo
Lo primero que deberá revisarse en la expresión es el número de variables con las que cuenta, pues esto indicará la forma en que deben ser calculados los grados de cada uno de los términos. En este caso, se trata de un polinomio de una sola variable, en donde para determinar los grados será necesario fijarse en el valor de cada uno de los exponentes a los que se encuentran elevadas las variables, a fin de determinar cuál es el mayor de ellos. Determinado que el mayor grado es igual a 5, y sabiendo que se trata de un polinomio desordenado será necesario proceder a su ordenamiento, de forma descendente:

P_(x)= 4x – 4 + 3x² – 5x³ + 5x⁵ – x⁴ → P_(x)= 5x⁵ – x⁴– 5x³+ 3x² +4x – 4

 Al hacerlo, se puede observar cómo se crea, en sus grados, una secuencia ininterrumpida, que se despliega desde el grado 5 hasta el grado 0 del término independiente, por lo que el polinomio ordenado P_(x)= 5x⁵ – x⁴– 5x³+ 3x² +4x – 4 puedes ser considerado como un polinomio completo.

Dado el polinomio  P_(x,y,z)= 3xyz – 4x²y² + 4xy – 5 + 2x – 8x²yz² determinar si es un polinomio completo

En este caso, el polinomio está constituido por varias variables, por lo que será necesario escoger una letra ordenatriz, la cual servirá de guía para realizar el ordenamiento. En este caso se escogerá la variable x, ordenando el polinomio de acuerdo al valor de sus grados, y escogiendo el orden descendente:

P_(x,y,z)= 3xyz – 4x²y² + 4xy – 5 + 2x – 8x²yz² → P_(x,y,z)= – 8x²yz² – 4x²y² + 3xyz + 4xy + 2x – 5

Al hacerlo, verificando la secuencia observada según la variable x, se tendrá entonces los valores 2,1,0, la cual puede ser interpretada como una secuencia ininterrumpida, por lo que el polinomio puede ser considerado como un polinomio completo.

Dado el polinomio P_(x)= 4x² – 3x – 4 + 8x⁵ determinar si se trata de un polinomio completo

Como se trata de un polinomio de una sola variable, será necesario solamente revisar el valor de sus grados, después de lo cual será necesario ordenarlo de forma descendente:

P_(x)= 4x² – 3x – 4 + 8x⁵ → P_(x)= 8x⁵+ 4x² – 3x – 4

Al revisar el valor de los grados del polinomio ordenado, se puede ver cómo no existe secuencia ininterrumpida entre ellos, por lo que no se puede hablar entonces de un polinomio completo.

Dado el polinomio P_(y)= 5y⁵ – 7y⁴ + y³ + 2y² – y + 9 determinar si es un polinomio completo

También puede ocurrir que el polinomio cuente con una sola variable, es decir que sus grado sean fácilmente observables, y que además se trata de un polinomio ordenado de forma descendente, por lo que determinar si se trata de un polinomio completo o no será tan sencillo como observar la secuencia que conforman los valores de sus grados. Al hacerlo, se puede ver cómo se establece una secuencia ininterrumpida (5, 4, 3, 2, 1, 0) por lo que se trata en efecto de un polinomio completo.

Dado el polinomio P_(x)=  4 – 3x + 5x³ – x² determinar si es un polinomio completo
Igualmente, al tratarse de un polinomio de una sola variable, sólo se requerirá observar el valor que tienen los exponentes en cada uno de los términos, para así saber cómo se ordenará el polinomio. En este caso, se puede deducir que el máximo valor de los exponentes es igual a 3, término desde el cual se ordenará el polinomio:

P_(x)=  4 – 3x + 5x³ – x² → P_(x)=  5x³ – x²– 3x  + 4

Revisando la secuencia de sus grados, se puede ver cómo se crea una secuencia ininterrumpida, desde el grado 3 hasta el grado 0 del polinomio independiente, por lo que se puede considerar al término como un término completo.

Dado el polinomio P_(x,y,z) = 4xy – x²y + 5 – 3x determinar si es un polinomio completo

Al ser un polinomio de más de una variable, se deberá escoger una letra ordenatriz. En este caso se escogerá la variable y, a fin de ordenar el polinomio de acuerdo a los valores de los exponentes de esta variable:

P_(x,y,z) = 4xy – x²y + 5 – 3x →  P_(x,y,z) = – x²y + 4xy – 3x + 5

Al revisar los valores de los exponentes de y, se encuentra la secuencia 1, 0, por lo que se puede considerar un polinomio completo.

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