Una buena forma de aproximarse a aquellos casos que pueden servir de ejemplo a los polinomios de cuarto grado, es revisar algunas definiciones, que surgen como fundamentales para comprender a cabalidad este tipo de expresiones algebraicas.
Definición de polinomio
En este sentido, resulta pertinente empezar por la propia definición de Polinomio, el cual es concebido por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, constituida por una suma finita de monomios, es decir, de expresiones algebraicas elementales, conformadas por una combinación de números y letras (elevadas a exponentes enteros y positivos) entre las que no caben operaciones de suma, resta o división. En consecuencia, la unión de estos monomios, a través de operaciones de suma –y en algunas ocasiones de resta o multiplicación- será entendida como polinomio.
Grado del polinomio
Así mismo, otra de las definiciones cruciales antes de avanzar sobre los ejemplos de polinomios de cuarto grado, es la de Grado de polinomio, el cual es definido como un elemento fundamental del polinomio, constituido por el exponente de mayor valor, que pueda distinguirse en alguno de sus términos. Igualmente, esta disciplina matemática hace énfasis en que el Grado del polinomio es un elemento de esta expresión, que asume la responsabilidad de servir de referencia a la hora de establecer una clasificación en base a él (polinomios de primer grado, polinomios de segundo grado, etc.) así como un orden dentro del término: ascendente (del menor grado al mayor grado) y descendente (del mayor grado al menor grado).
Cómo determinar el grado de un polinomio
En cuanto a la forma indicada de determinar el grado de un polinomio, las distintas fuentes teóricas afirma que la forma indicada será la de evaluar los exponentes a los que se encuentran elevadas las variables de cada término, a fin de identificar cual es la de mayor valor. No obstante, no siempre los términos cuentan con una sola variable, encontrándose entonces términos en donde pueden distinguirse dos o tres variables, en donde para determinarse el grado del polinomio, será necesario determinar primero el grado de cada término, lo cual se hará sumando el valor de los exponentes observados en cada variable. Una vez con los resultados, se podrá entonces concluir cuál es el de mayor valor, a fin de determinar el grado del polinomio.
Ejemplos de polinomios de cuarto grado
Revisadas estas definiciones, será mucho más sencillo entender los casos que se expongan como ejemplos de polinomios de cuarto grado, definido como aquellas sumas finitas de monomios en donde el exponente de mayor valor es equivalente a 4. No obstante, la mejor forma de entender este concepto es a través de ejemplos concretos, como estos que se muestran a continuación:
P(x) = 2x4 – 5
En este ejemplo, se puede apreciar un binomio, conformado por un monomio y un término independiente. De esta forma, será necesario fijarse entonces en el exponente al que se encuentra elevada la variable de este primer término, en donde se distingue sólo una variable x, elevada a 4. Por ende, este binomio puede considerarse de cuarto grado, binomio cuártico.
P(a,b) = 3ab – 3b3 +5a2b2 – b + 5
Por su parte, este caso sirve para ejemplificar polinomios cuyos términos presentan más de una variable. Por consiguiente, será necesario sumar el valor de los exponentes de esas variables en cada término, obteniendo entonces, los siguientes valores:
3ab → 1+1= 2
3b3 → 3
5a2b2 → 2+2= 4
b → 1Al revisar los grados de cada uno de los monomios que conforman el polinomio, se puede determinar entonces que el mayor es el equivalente a 4. Por ende, este polinomio será de cuarto grado, o cuártico.
P(x) = 3x-2 + 4x2 – x4 + 3
En este caso, al comenzar a revisar los exponentes de cada uno de los términos, se puede ver cómo el primero cuenta con una variable que se encuentra elevada a -2, lo cual implica que este término no pueda ser considerado un monomio, cuya principal característica es el tener variables con exponentes enteros y positivos. Al no ser el primer término un monomio, tampoco se puede decir entonces que la expresión sea un polinomio. Sin embargo, se puede asumir igual como una expresión algebraica, cuyo grado es 4, puesto que es el valor del mayor exponente que puede verse en cada uno de sus términos.
Así mismo, los siguientes términos pueden considerarse también claros ejemplos de polinomios de cuarto grado:
P(x) = 4 – x4 + 2
P(a,b) = 3a – a2b2 + 2ab + 5
P(x,y,z) = 2x – xyz + 5x2yz + 3 + 7
P(a) = 4a4 – 3
P(y) = 3y – y2 + 2y4 + 2
P(a,b,c) = abc – 2ab2 +ab3
P(c) = 2c – c2 + 5c4 – 3
P(x,y) = 5x – x2y + 3x3y
P(a,b,c) = abc2 – 4
P(x,y,z) = 3x2yz + 2
P(x) = x4 + 1 + 3
P(a) = a2 – 3a3 + 8a4
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