Definición de polinomio

Por ende, una buena forma de comenzar podría ser recordando la definición de Polinomio, el cual es concebido por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, la cual está compuesta por una suma (y de vez en cuando resta o multiplicación) finita de monomios, definidos a su vez como expresiones algebraicas elementales, conformadas por una combinación de elementos abstractos numéricos y elementos abstractos no numéricos (elevados a exponentes enteros y positivos) entre los cuales es imposible operaciones de suma, resta o división.

Grado del polinomio

Por otra parte, se hace necesario revisar también el concepto de Grado de polinomio, el cual es entendido como un elemento esencial del polinomio, constituido por el valor del mayor exponente que pueda distinguirse entre sus términos. No obstante, no siempre se puede contar con polinomios cuyos términos estén constituidos por una sola variable, por lo que en caso de polinomios en donde los términos tengan dos o tres variables, la forma de determinar cuál es el grado de la expresión, conllevará identificar primero el grado de este tipo de términos, lo cual implicará sumar los exponentes de cada una de las variables que se presenten.

Funciones del polinomio

Así mismo, el Álgebra elemental también ha indicado que el Grado del polinomio, además de ser un elemento que cumplen determinadas funciones dentro del polinomio, como por ejemplo servir de referencia a la hora de plantear una clasificación en base al grado (primer grado, segundo grado, etc.) así como de elemento guía a la hora de establecer un ordenamiento dentro del polinomio, bien si se organiza en orden ascendente (desde el grado menor al grado mayor) o descendente (del grado mayor al grado menor).

Ejemplos de polinomios de quinto grado

Evaluadas estas definiciones, será mucho más fácil comprender los casos que sirven de ejemplo a los polinomios de quinto grado, conocidos también como polinomios quínticos, y que básicamente son definidos como aquellos polinomios que cuentan con términos en donde el exponente de mayor valor es equivalente a 5, o de tratarse de términos de dos variables, como el polinomio en donde el mayor grado de uno de los monomios es igual a 5. No obstante, la forma más práctica de asimilar este enunciado es a través de ejemplos concretos, tal como los que se enseñan seguidamente:

P(x)= 6x⁵ – 2 

En primer lugar, se puede ver cómo este binomio, constituido por dos términos, cuenta con un término con variable y un término independiente, por lo que a la hora de precisar cuál es el grado del polinomio, será necesario simplemente distinguir cuál es el valor del exponente al que se encuentra elevada la variable x. Al hacerlo, se podrá identificar el 5, por lo que se concluye entonces que se trata de un binomio de quinto grado, o quíntico.

P_(a,b,c) =  2a – 3a²b³ + 4abc – c² + 2

Por otro lado, este término también puede servir de ejemplo de aquellos polinomios que cuentan con más de una variable, y en cuyo caso se necesita entonces calcular cuál es el grado de cada término, a fin de poder identificar cuál es el grado del polinomio, tal como se muestra a continuación:

2a → 1 (al contar con una variable en donde no se encuentra expresada de forma clara la variable, se asume que esta es equivalente a 1).

3a²b³ → 2+3= 5

4abc →  1+1+1= 3 (en este término se cumple también la norma que indica que cuando la variable no aparece elevada a ningún exponente expresado de forma clara, se asume que esta es equivalente a 1)

c² → 2

Al comparar resultados, se puede ver entonces que el grado absoluto de cada monomio es equivalente a 5, por lo que se puede decir que el Polinomio es de quinto grado, o quíntico.

P_(x,y) =  3x² – xy^-3 + 2x³y – y⁵ + 4

En este caso, también se debe iniciar evaluando los exponentes de cada una de las variables de los términos. Sin embargo, al hacerlo se puede observar cómo el término – xy^-3  cuenta con un exponente negativo igual a -3, lo que hace que este término no pueda ser considerado un monomio, y por ende la expresión completa no pueda ser tenida como un polinomio. No obstante, esto no quiere decir que no se pueda determinar el grado de ella, la cual corresponderá igualmente al mayor exponente que pueda verse:

3x² → 2

– xy^-3 → 1 -3 = -2

2x³y → 3+1= 4

y⁵ → 5

Por ende, se determina que esta expresión algebraica puede ser identificada como de quinto grado.

Así mismo, los polinomios que se ofrecen a continuación pueden ser tenidos como ejemplos de polinomios de quinto grado:

P_(x) =  3x – 5x⁵

P_(a,b,c) =  a2 –  abc + 3a²b³

P_(x,y) =  y5 – xy + 4

P_(x,y,z) =  2x – 3xy + xyz – 2x²y² + z⁵ – 4

P_(a,b) = 3a² – 4ab³ – b⁵ + 2

P_(x) =  6x⁵  +  2

P_(x) =  x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – 5x² – x + 3

P_(a) =  a⁴ + 3a⁵

P_(y) =  y⁵ – 3

P_(x,y,z) =  2x – 4x²y²z + 2

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