No obstante, antes de abordar algunos casos que puedan servir de ejemplo a este tipo de polinomios, conocidos como polinomios homogéneos quizás sea necesario recordar algunas definiciones que vengan a dar idea del contexto preciso al cual pertenece esta clase de polinomios, tal como se ve a continuación:

Polinomios

En este sentido, quizás la primera definición que deba revisarse es el propio concepto de polinomio, definido por el Álgebra elemental como una expresión algebraica compleja, la cual puede considerarse conformada por un conjunto finito de monomios entre los cuales se establecen operaciones de suma. Empero, entre estos monomios se pueden establecer también operaciones de resta y multiplicación, siendo la división la única operación que no será posible entre los monomios que conforman el polinomio.

Elementos del polinomio

Así mismo, esta disciplina matemática ha indicado que el polinomio puede ser considerado como una expresión algebraica en donde pueden distinguirse cuatro elementos esenciales, cada uno de los cuales cuenta con su propia definición y función, tal como puede verse en la gráfica y los distintos conceptos que se exponen a continuación:

• Términos: con este nombre se designan cada uno de los sumandos del polinomio, tanto si se trata de un monomio (combinación de números y letras elevadas a números enteros y positivos) como de términos independientes.
• Términos independientes: por otro lado, con el nombre de términos independientes se conocerán aquellos elementos numéricos que no se encuentran acompañados de ninguna variable. Igualmente, el Álgebra elemental señala que estos términos contarán en todo momento con un grado igual a cero.
• Coeficientes: en tercer lugar, se pueden distinguir los coeficientes, elementos numéricos que se encuentran junto a la variable, indicando cuál es la cantidad por la que esta debe ser multiplicada en caso de que asuma un valor numérico.
• Grado: por último el grado del polinomio viene dado por el mayor grado que pueda determinarse en algunos de sus términos. En cuando a su función, algunas fuentes han señalado que el grado del polinomio constituye un elemento guía por ejemplo a la hora de dar orden al polinomio, o incluso establecer relaciones de semejanza o diferencia con respecto a otros polinomios.

Ejemplos de polinomios homogéneos

Revisadas estos conceptos y definiciones será mucho más fácil revisar los distintos casos que pueden ejemplificar los polinomios homogéneos, tenido entonces como aquellos polinomios conformados por términos que coinciden entre sí en cuanto a sus grados. A continuación, algunos de estos ejemplos:

Dado el polinomio P_(x)= 3x⁴ – x⁴ + 4x⁴ + 5x⁴ determinar si se trata de un polinomio homogéneo

A fin de dar cumplimiento con la solicitud hecha en el postulado, será necesario revisar las características de cada término a fin de saber cuál será la forma en que se determinarán sus distintos grados. En este caso, se trata de un polinomio conformado por términos de una sola variable, por lo que para determinar el grado de cada término, será tan sencillo como determinar cuál es el exponente al que se encuentra elevada la variable. Al hacerlo se puede ver cómo la variable x cuenta con un grado 4 en todos sus términos, por consiguiente el polinomio P_(x)= 3x⁴ – x⁴ + 4x⁴ + 5x⁴ puede ser considerado como un polinomio homogéneo.

Dado el polinomio P_(x,y,z)= xyz – 4xy² + 3yz² – 5xyz + y³ determinar si se trata de un polinomio homogéneo

En este caso, por el contrario, se trata de un polinomio compuesto por términos que cuentan con más de una variable, por lo que para determinar el grado de cada uno de ellos, se debe calcular el grado absoluto, para lo que se deberán sumar los grados o exponentes de cada uno de ellos:

xyz → se suman los exponentes a los que están elevadas las variables: 1+1+1= 3

– 4xy² →  1+2=3
3yz² → 1+2= 3
y³ →  3

Al revisar los grado de cada uno de los términos de este polinomio, se puede ver cómo todos coinciden en ser de tercer grado, por lo que se puede concluir entonces que  P_(x,y,z)= xyz – 4xy² + 3yz² – 5xyz + y³ es un polinomio homogéneo.

Dado el polinomio P(x)=  3 – 2 + 0x²y³z²  determinar si se trata de un polinomio homogéneo

Por su parte, este polinomio cuenta con una característica particular y es que, además de contar con dos términos independientes, el tercer término cuenta con un coeficiente igual a 0 por lo que ese monomio será de grado cero, lo cual coincidirá totalmente con los grados de ambos términos, por lo que se puede decir entonces que en efecto el polinomio P(x)=  3 – 2 + 0x²y³z²  es un polinomio homogéneo.

Dado el término 4x²y – 5x²y² + 3x^-2y³ – 4 determinar si se trata de un polinomio homogéneo

Al revisar el término, se puede ver en primera instancia que cuenta con varias variables. No obstante, al revisar cada uno de los exponentes a los que se encuentran elevados sus literales, se puede ver cómo en el tercer término existe un exponente -2, lo que rompe la regla de que todos los exponentes del monomio deben ser números enteros y positivos. Por ende, al no poder ser este término considerado como un monomio, la expresión completa tampoco puede ser determinada como un polinomio. En segundo lugar, al revisar nuevamente los grados de los términos de esta expresión, tampoco se encuentra coincidencia entre ellos, incluso pudiendo encontrarse un término independiente de grado 0.

Dado el polinomio P_(x,y)= 3x² – 2x² + x² + 3xy  determinar si se trata de un polinomio homogéneo

En esta expresión algebraica, se puede ver a simple vista como de los cuatro términos, apenas uno cuenta con más de una variable, por lo que para comparar los grados de cada término será necesario calcular el grado absoluto de este término, lo cual se hará sumando el valor de los exponentes a los que se encuentran elevadas sus variables:

3xy → 1+1= 2 (el Álgebra elemental asume que cuando la variable no cuenta con un exponente expresado de forma explícita, éste puede asumirse como la unidad)

Al revisar los grados de cada término, se tendrá entonces que todos cuentan con un grado 2, es decir, son de segundo grado, por lo cual el polinomio puede ser considerado entonces como un polinomio homogéneo.

Dado el polinomio P_(x,y,z)= 3xyz – 4x³ – 2xy² +5xyz – 2y³ determinar si es un polinomio homogéneo

Ante esta expresión algebraica, y a fin de cumplir con lo indicado en el postulado, se debe revisar cada uno de los términos, encontrando en primera instancia que, si bien hay términos de una sola variable, por haber varias, el polinomio puede ser considerado como un polinomio de más de una variable. En segunda instancia, se deben revisar los grados de cada uno de estos términos, recordando que en el caso de monomios de más de una variable se deben sumar los distintos exponentes a los que se encuentran elevados los literales:

3xyz → 1+1+1= 3

– 4x³ → 3
– 2xy² → 1+2= 3
5xyz → 1+1+1= 3
– 2y³ → 3

Si se revisan entonces todos los grados de los distintos términos del polinomio se puede concluir que todos coinciden con ser de tercer grado, por lo que a su vez el polinomio P_(x,y,z)= 3xyz – 4x³ – 2xy² +5xyz – 2y³ puede considerarse como un polinomio homogéneo.

Dado el polinomio P_(a)=  a – 5a + 3a + 34a  determinar si se trata de un polinomio homogéneo

A simple vista, se puede ver cómo esta expresión algebraica se trata de un polinomio de una sola variable: a. Así mismo, una rápida revisión a los términos deja en evidencia cómo a pesar de no contar con el grado claramente expresado –por lo que se asume igual a la unidad- todos los términos de este polinomio, independientemente del valor de sus coeficientes, son de primer grado, es decir, de grados equivalentes a 1, por lo que además el polinomio P_(a)=  a – 5a + 3a + 34a   puede considerase un polinomio homogéneo.

Dado el polinomio P_(x,y)= 5xy – 2xy + x² determinar si se trata de un polinomio homogéneo

Determinado que se trata de un polinomio de más de una variable, se deberá calcular el grado absoluto de cada término, por lo que se sumarán los exponentes a los que se encuentran elevados sus literales:

5xy → 1+1= 2
– 2xy → 1+1=2
x² → 2

Al revisar los valores de los grados a los que se encuentran elevados cada término, se puede ver que todos coinciden, siendo de segundo grado, por lo que el polinomio P_(x,y)= 5xy – 2xy + x² puede considerarse un polinomio homogéneo.

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