Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede resultar beneficioso abarcar la propia definición de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto sobe el cual tiene lugar la operación de Diferencia Simétrica, a la que esta propiedad resulta inherente. Por otro lado, también puede ser pertinente traer a colación la definición de las operaciones involucradas en esta ley matemática. A continuación cada uno de los conceptos:

Conjunto

En este orden de ideas, se puede comenzar entonces por aproximarse a la definición de Conjunto, el cual es entendido por las Matemáticas como un objeto, constituido en base a elementos en los que puede distinguirse un elemento en común, que permite que puedan ser agrupados como una colección abstracta. Igualmente, esta disciplina afirma que estos elementos, además de pertenecer a una misma naturaleza, cumplen con la función de definir –de forma única y exclusiva- al conjunto. Por otro lado, con respecto a su notación, las distintas fuentes teóricas señalan que el Conjunto debe recibir como nombre el equivalente a una letra mayúscula, mientras que sus elementos deberán ser presentados como una enumeración, separados por comas, y contenidos por dos signos de llaves { }.

Diferencia Simétrica

Igualmente, es importante llamar la atención sobre la definición de Diferencia Simétrica, pues es en esta operación en donde tiene lugar la Propiedad de los subconjuntos y conjuntos. En este sentido, será pertinente decir que el Álgebra de conjuntos concibe a la Diferencia Simétrica como una operación básica en la cual un conjunto A y un conjunto B conforman un tercer conjunto A∆B en donde se pueden contar cada uno de los elementos de A que no se pueden encontrar en B, así también como cada uno de los elementos de B que no aparecen en A.

Diferencia

Así también, debe hacerse referencia a la operación de Diferencia, la cual es entendida por el Álgebra de conjuntos como una operación básica, por medio de la cual un conjunto A y un conjunto B crean un tercer conjunto, que recibe el nombre de A\\B y en donde se anotarán como elementos todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B. Con respecto al signo que sirve para denotar esta operación, el Álgebra de conjuntos señala a la barra invertida o backslash \\.

Propiedad sobre conjuntos y subconjuntos

Finalmente, también se pasará revista sobre la definición de la propia ley matemática sobre conjuntos y subconjuntos en la Diferencia simétrica, la cual es señalada por varias fuentes teóricas como la Ley matemática que tienen lugar cuando un conjunto A tiene como subconjunto a un conjunto B, caso en el cual entonces la operación de Diferencia simétrica entre estas colecciones alcanzará igual resultado que la operación de Diferencia entre ellos, situación que es expresada matemáticamente de la siguiente manera:

B ⊆ A → A ∆ B = A\\B

Ejemplos de la Propiedad de conjuntos y subconjuntos

Revisadas estas definiciones, quizás sea mucho más sencillo comprender la terminología y cada una de las operaciones que pueden presentarse a la hora de comprobar cómo se cumple esta ley en la operación de la Diferencia simétrica. A continuación, algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Dado un conjunto A, conformado por nombres masculinos en general: A= {Antonio, Manuel, Miguel, Raúl, Leonardo, Alfredo, Adolfo} y un conjunto B conformado por nombres masculinos que terminen en la letra “o”: B= {Antonio, Leonardo, Alfredo, Adolfo} comprobar cómo se cumple la Ley de conjuntos y subconjuntos al realizar una operación de Diferencia simétrica.

Para cumplir con lo solicitado por este postulado, el primer paso que deberá hacerse es identificar si realmente el conjunto B constituye un subconjunto de A, principal requisito para que pueda tener lugar esta Ley matemática. En este caso, se revisan cada uno de los elementos, para ver si ciertamente B está incluido en A:

A= {Antonio, Manuel, Miguel, Raúl, Leonardo, Alfredo, Adolfo}
B= {Antonio, Leonardo, Alfredo, Adolfo}

Al hacerlo, se puede ver cómo efectivamente cada elemento del conjunto B se encuentra presente en el conjunto A, es decir que A contiene a B, o lo que es igual, que B es un subconjunto de A:

B ⊆ A

Comprobado esto, se procederá entonces a realizar cada una de las operaciones involucradas en la expresión matemática de esta ley, a fin de poder comprobar si realmente, cuando B es subconjunto de A, tanto la Diferencia simétrica como la Diferencia entre estos dos conjuntos son equivalentes:

A ∆ B =

A ∆ B = {Antonio, Manuel, Miguel, Raúl, Leonardo, Alfredo, Adolfo} ∆ {Antonio, Leonardo, Alfredo, Adolfo}

A ∆ B = {Manuel, Miguel, Raúl}

A\\B=

A\\B= {Antonio, Manuel, Miguel, Raúl, Leonardo, Alfredo, Adolfo} \\ {Antonio, Leonardo, Alfredo, Adolfo}

A\\B= {Manuel, Miguel, Raúl}

Como ha podido comprobarse, debido a que B es un subconjunto de A, al realizar una operación de Diferencia Simétrica o incluso de Diferencia se obtendrá igual resultado por lo que se puede decir entonces que la Ley de conjuntos y subconjuntos ha sido comprobada:

B ⊆ A → A ∆ B = A\\B

Ejemplo 2

Dado un conjunto B en donde puedan contarse como elementos, instrumentos musicales en general: B= {Pandereta, Piano, Saxofón, Trompeta, Batería, Bongó, Guitarra} y un conjunto C, constituido por instrumentos musicales de percusión: C= {Pandereta, Batería, Bongó} comprobar si se cumple o no la Propiedad sobre conjuntos y subconjuntos:

B= {Pandereta, Piano, Saxofón, Trompeta, Batería, Bongó, Guitarra}
C= {Pandereta, Batería, Bongó}

B ⊆ C → B ∆ C = B\\C

B ∆ C=
B ∆ C= {Pandereta, Piano, Saxofón, Trompeta, Batería, Bongó, Guitarra} ∆ {Pandereta, Batería, Bongó}
B ∆ C= {Piano, Saxofón, Trompeta, Guitarra}

B\\C=
B\\C= {Pandereta, Piano, Saxofón, Trompeta, Batería, Bongó, Guitarra} \\ {Pandereta, Batería, Bongó}
B\\C= {Piano, Saxofón, Trompeta, Guitarra}

C ⊆ B → B ∆ C = B\\C

C ⊆ B → {Piano, Saxofón, Trompeta, Guitarra} = {Piano, Saxofón, Trompeta, Guitarra}

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