Definiciones fundamentales

Así mismo, se enfocará esta revisión teórica a tres nociones fundamentales: Ecuaciones, Ecuaciones de primer grado y Resolución de Ecuaciones de primer grado con paréntesis, por encontrarse directamente relacionadas con las operaciones que se revisarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Ecuaciones

En consecuencia, se comenzará por decir que las Ecuaciones han sido explicadas de forma general como un tipo de igualdad, en donde ocurre que el literal o incógnita sólo tiene la posibilidad de asumir un valor específico, para que se cumple la igualdad entre los términos. Un ejemplo de este tipo de igualdades literales será el siguiente:

x – 4 = 12

Suponiendo que se tenga esta ecuación, y se quisiera determinar si x puede asumir cualquier valor, o sólo uno de ellos, se deberá probar asignando distintos valores al literal de esta igualdad, para descubrir entonces cuál de ellos sirve:

3 – 4 = 12 → -1 ≠ 12
5 – 4 = 12 → 1 ≠ 12
8 – 4 = 12 → 4 ≠ 12
16 – 4 = 12 → 12 = 12

Al hacerlo, se puede observar entonces cómo la relación de igualdad se cumple tan sólo cuando x resulta igual a 12. Por ende, al tener el literal la posibilidad de asumir tan solo un valor, la igualdad literal no será reconocida como Identidad, sino como Ecuación.

Ecuación de primer grado

En segundo lugar, será necesario también lanzar luces sobre el concepto de Ecuación de primer grado, la cual ha sido explicada de forma general como la Ecuación o igualdad literal, en donde la incógnita, además de corresponder tan solo con un valor exclusivo, se caracteriza también por encontrarse elevado a la unidad.

Si se diera el caso de que en la Ecuación se presentaran varios literales, entonces al ser una  Ecuación de primer grado todas las incógnitas se elevarían a la unidad. Por tradición, cuando un elemento se eleva a este exponente, no se anota, sino que se da por sobreentendido.

Resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis

Por último, también será necesario abordar el proceso de resolución de toda ecuación en donde el o los literales se encuentren elevados a la unidad, y además haya presencia de paréntesis. En este orden de ideas, las Matemáticas han señalado que la forma ideal de resolver estas ecuaciones es a través de los siguientes pasos:

1. Lo primero que deberá hacerse, en caso de enfrentar una Ecuación de primer grado con paréntesis es eliminar estos signos de agrupación, lo cual se podrá hacer aplicando la Propiedad distributiva. En el momento de realidad este paso, es decir, sacar los elementos que se encuentran dentro de este signo de agrupación, deberán tomarse en cuenta la Ley de signos, pues el signo que se encuentra delante del paréntesis afectará a todos los elementos que se encuentren dentro de este paréntesis.
2. Hecho esto, y con todos los elementos fuera del paréntesis, entonces se busca comenzar a aislar la x en el primer término. Por tanto, todos los elementos que contengan x se trasponen al primer término, a donde pasan con signo contrario.
3. Así mismo, todos aquellos elementos numéricos que hayan quedado en el primer término deben ser transpuestos al segundo, pues esto permitirá seguir con el objetivo de aislar la x.
4. Hecho esto, se reducen los términos semejantes, obteniendo un solo literal.
5. Se resuelven las operaciones pertinentes, y se encuentra el verdadero valor de x.
6. Si se desea, se comprueba el resultado de la operación, sustituyendo el valor de x en la igualdad original, viendo si esta realmente se cumple o no. Si la igualdad se cumple, entonces se considera que la Ecuación ha sido correctamente resuelta.

Ejemplos de resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que sea mucho más sencillo abordar algunos casos que puedan servir de ejemplo concreto a la forma adecuada en que debe ser resuelta toda ecuación de primer grado, en donde exista la presencia de paréntesis. A continuación, algunos de ellos:

Ejercicio 1

Resolver la siguiente operación

2 (8 – x) = 4(x – 4)

Al enfrentar esta ecuación, se comenzará entonces por sacar todos los elementos de los paréntesis, proceso para el cual se multiplicarán los elementos del paréntesis por el elemento que existe frente a ellos, tomando además en cuenta la ley de signos:

-2 (x – 5) = 5(4 – x)
-2x + 10 = 20 – 5x

El siguiente paso será entonces llevar todos los elementos literales al primer término de la igualdad, teniendo en cuenta que se deberán trasponer:

-2x + 5 x + 10 = 20

Se busca aislar la x en el primer término, por lo que se traspone el elemento numérico.

-2x + 5x = 20 – 10
-2x + 5x = 10

A través del método de reducción se logra obtener un solo elemento literal:

(-2+5)x = 10
-3x = 10
x = 10/3

Ejemplo 2

Resolver la siguiente operación:

2(7 – x) + 6x = 8 – 5(x -1) + 8x +4
14 – 2x + 6x = 8 – 5x +5 + 8x + 4
-2x + 6x + 5x – 8x = 8 + 5 + 4 -14
(-2 + 6 + 5 – 8)x = 8 + 5 + 4 – 14

1x = 3
x = 3

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