Ejemplos de simplificación de raíces

Definiciones fundamentales

En consecuencia, puede que esta revisión deba basarse en dos conceptos fundamentales: en primer lugar, quizás sea de primera necesidad pasar revista sobre la definición de Radicación, pues esto será necesario para tener presente la naturaleza de la operación en base a la cual se realiza la operación de simplificación, así mismo, será indispensable tomar en cuenta el concepto de este procedimiento matemático. A continuación, cada una de estas definiciones:

La Radicación

De esta manera, será necesario comenzar a decir que las Matemáticas han definido la Radicación como una operación, en donde dos números determinados se relacionan, a fin de identificar un tercer número, que cuente con la propiedad de que al ser multiplicado por sí mismo tantas veces como señale uno de los números involucrados, dé como resultado el segundo número, de ahí que algunas fuentes señalen que la Radicación puede ser igualmente concebida como una operación inversa a la Potenciación.

Simplificación de raíces

Por su parte, la Simplificación de raíces es entendida como el procedimiento matemático por medio del cual una raíz es expresada de la forma más sencilla o simple que pueda hacerse. Para lograr esto, la Matemática recurre a dos métodos matemáticos, los cuales son explicados a su vez de la siguiente manera:

• Descomposición de raíces: considerada como una de las principales técnicas para la Simplificación de raíces, consiste en determinar cuáles son los factores de un radicando que pueden salir de la raíz, para hacer esto cada número deberá determinar cuál es su correspondiente base, que al ser elevada por el índice da como resultado el mismo número que quiere extraerse.
• Factorización de raíces: por su parte, la Factorización de raíces será la técnica matemática por medio de la cual se tratará de expresar la raíz por medio de factores entre los cuales se establece una operación de multiplicación, estos factores estarán constituidos por números primos.

Ejemplos de Simplificación de raíces

Teniendo presente estas definiciones, quizás ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a cada uno de los ejemplos que pueden desprenderse del procedimiento matemático, conocido como Simplificación de raíces. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Dada la siguiente raíz √850 simplificarla, a través del método de la factorización de raíces:

1.- Para cumplir con el postulado planteado, será necesario comenzar a dividir el radicando de esta operación entre los distintos números primos, que arrojen siempre cocientes exactos:

2.- Se expresará cada uno de los factores dentro de la raíz, anotando aquellos que se repiten más de una vez como potencias, en donde el exponente será equivalente al número de veces que se repite:

3.- Hecho esto, se extraerán aquellos factores que puedan. En caso de tener exponentes, será necesario recordar que deben dividirse el número del exponente entre el índice, que al ser una raíz cuadrada, será entonces equivalente a 2:

4.- El resultado se interpretará como la Simplificación de la raíz. En caso de que se quisiera comprobar el resultado, será necesario hacer uso de la composición de raíces:

Ejemplo 2

Simplificar a través del método de Descomposición de raíces la siguiente operación: √720

1.- Al ser a través del método de Descomposición de raíces que deberá simplificarse esta operación, se deberá entonces pensar en cuáles factores dan como resultado 720, pero a la vez dan al menos un número que pueda ser una raíz exacta:

720 : 2=  360 (no es raíz cuadrada exacta)
720 : 3=  240 (no es raíz cuadrada exacta)
720 : 4=  180 (no es raíz cuadrada exacta)
720 : 5=  144 (sí es raíz cuadrada exacta)

2.- Determinados los factores que cumplen con esta propiedad, se deberá entonces anotar dentro de la raíz:

3.- Este número será interpretado como la simplificación de la raíz.

Ejemplo 3

Simplificar por medio de Descomposición de raíces, y también por medio de Factorización de raíces en números primos la siguiente raíz: √23040

1.- Para empezar a Simplificar la raíz por medio del método de la Descomposición, será necesario determinar entonces en cuáles factores se puede descomponer la raíz, a fin de que al menos uno de ellos dé como resultado una raíz exacta:

23040 : 2= 11520 (no es raíz cuadrada exacta)
23040 : 3= 7680 (no es raíz cuadrada exacta)
23040 : 4= 5760 (no es raíz cuadrada exacta)
23040 : 5= 4608 (no es raíz cuadrada exacta)
23040: 6=  3840 (no es raíz cuadrada exacta)
23040 : 7= 3291, 4 (no es un número exacto)
23040: 8=  2880 (no es raíz cuadrada exacta)
23040 : 9= 2560 (no es raíz cuadrada exacta)
23040 : 10 = 2340 (sí es raíz cuadra exacta)

2.- Al conseguir los factores que cumplen con esta propiedad, será necesario entonces anotarlos dentro de la raíz:

3.- Se procede entonces a sacar aquellos números que puedan ser extraídos de la raíz:

4.- El resultado es asumido como la simplificación de la raíz:

5.- En cambio, si se aplica el método de factorización de raíces en números primos, se deberá comenzar dividiendo el radicando en números primos:

2.- Hecho esto, se procede a expresar cada uno de los factores dentro de la raíz. En caso de que aparezcan varias veces, se expresarán como potencia, tomando como base el factor y como exponente el número de veces que se repite:

3.- Se busca entonces que los factores salgan de la raíz. Si cuentan con exponentes, se dividirán estos entre el índice de la raíz, que siendo una raíz cuadrada será equivalente a 2. En caso de que el exponente no sea divisible entre 2, se podrá descomponer entre factores que sí sean divisibles:

4.- Se extraerán entonces cada uno de los factores:

5.- Se resuelven todas las operaciones de potenciación pertinentes:

6.- Se resuelven igualmente las operaciones de multiplicación:

7.- Se interpreta este número como la simplificación de la raíz:

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