Identidades de Cauchy cuando el cubo del binomio implica resta

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, podrá tomarse igualmente la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Productos e identidades notables y Cubo de un binomio cuando implica resta, por encontrarse directamente relacionados con la identidad que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Binomios

De esta manera, se comenzará diciendo que los Binomios pueden ser explicados como una expresión algebraica, en donde se plantea –siendo estas las únicas operaciones admitidas- una suma o una resta de monomios, es decir, de términos algebraicos que se encuentran constituidos a su vez por un término numérico y un término literal, que se multiplican entre sí, siendo igualmente la operación de multiplicación la única posible entre estos elementos.

En consecuencia, los Binomios también pueden ser explicados como polinomios de dos términos algebraicos o dos monomios. Algunos ejemplos de esta clase de expresión algebraica serán los siguientes:

3x + 4y =
x² + 2y =
a + b =

Productos e identidades notables

Por otro lado, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Productos e Identidades notables, las cuales han sido descritas como un conjunto de leyes matemáticas, que tienen como objetivo orientar el proceso de Factorización de polinomios, es decir, el proceso por medio del cual un polinomio es expresado como producto.

De esta manera, los Productos e Identidades notables proporcionan fórmulas matemáticas, por medio de las cuales se logra realizar operaciones de multiplicación de manera directa, en lugar de multiplicar cada uno de sus términos, lo cual se traduce por un lado en un ahorro de tiempo, mientras que por otro lado baja la probabilidad de que se cometan errores.

En cuanto a las Identidades notables, la mayoría de las fuentes señalan que esta regla matemática no sólo permite la realización directa de ciertas multiplicaciones, sino que también resulta ideal para descomponer expresiones algebraicas, a fin de determinar de cuál operación se ha originado.

Cubo de un binomio cuando implica resta

Finalmente, también será necesario pasar revista sobre el concepto Cubo de un binomio cuando implica resta, el cual es entendido entonces como uno de los tantos productos notables, que entran en juego en relación a operaciones de multiplicación de polinomios.

De forma mucho más específica, el Cubo de un binomio cuando implica resta es un producto notable, que señala que siempre que se esté ante este tipo de operación, el resultado será igual al cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo término, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término. Esta regla matemática puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

 (a – b) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Identidades de Cauchy cuando el binomio implica resta

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación de las identidades de Cauchy cuando el binomio implica resta, la cual ha sido identificada como una de las distintas identidades notables que existen en el Álgebra.

Así mismo, esta identidad notable ha sido señalada como una de las formas matemáticas directa en las que se puede solucionar la potencia de un binomio, cuando este implique que los dos términos se resten, y al mismo tiempo se eleven al cubo.

Para este tipo de casos, las identidades de Cauchy señalan que siempre que se necesite resolver el cubo de un binomio que implique resta, se deberá asumir que el resultado es igual al cubo del primer término, menos el cubo del segundo término, menos el triple del producto de los términos por la resta de los mismos. Esta identidad notable puede expresarse en la siguiente fórmula matemática:

 (a – b) = a³  – b³ – 3ab.(a-b)

Ejemplo de identidades de Cauchy cuando el binomio implica resta

Sin embargo, puede que la forma más idónea de cerrar una explicación sobre las identidades de Cauchy cuando el cubo del binomio implica la resta de los monomios, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, el cual permita ver entonces cómo debe procederse en cada caso. A continuación, el siguiente ejercicio:

(x – 2y)³ =

Ante esta operación, lo primero que debe hacerse es revisar la naturaleza de los términos involucrados. Al hacerlo, se determina entonces que se trata del cubo de un binomio que implica resta. Por ende, se puede escoger para su solución las identidades de Cauchy. Para esto, se comenzará aplicando la fórmula matemática pertinente al binomio que se encuentra elevado al cubo:

(x – 2y)³ = (x)³ – (2y)³ – 3.(x).(2y).(x-2y)

Se procede entonces a resolver las operaciones planteadas:

(x)³ – (2y)³ – 3.(x).(2y).(x-2y) = x³ – 8y³ – 6xy.(x-2y)

x³ – 8y³ – 6xy.(x-2y)= x³ – 8y³ – 6x²y + 12xy²

Por último, se expresa el resultado:

(x – 2y)³ = x³ – 8y³ – 6x²y + 12xy²

Si este ejercicio, se hiciera por medio del producto notable correspondiente, el cual señala que el resultado del Cubo de un binomio que implica resta es igual al cubo del primer término, menos el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término, es decir: (a – b) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³. Se tendría el mismo resultado:

(x – 2y)³ =

(x – 2y)³ = (x)³ – 3 . (x)² . (2y) + 3 . (x) . (2y)² – (2y)³

(x)³ – 3 . (x)² . (2y) + 3 . (x) . (2y)² – (2y)³ =  x³ – 6x²y + 3.(x).4y² – 8y³

x³ – 6x²y + 3.(x).4y² – 8y³ = x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³

x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³ → x³ – 8y³ – 6x²y + 12xy²

(x – 2y)³ = x³ – 8y³ – 6x²y + 12xy²

Imagen: pixabay.com