Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también resulte prudente el delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: la primera de ellas, el propio concepto de Números enteros, por ser estos los elementos numéricos involucrados en la operación. Así mismo, sería pertinente pasar revista sobre los conceptos de División de Máximo Común Divisor, por ser estos los procedimientos directamente relacionados. A continuación, cada uno de ellos:

Números enteros

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos numéricos por medio de los cuales puede dársele expresión escrita a las cantidades enteras o exactas, o así también a la ausencia de ellas. Por otro lado, la disciplina matemática también ha indicado que los Números enteros pueden ser vistos como los elementos constituyentes del conjunto numérico Z, colección en donde se podrán contar tres distintas clases de números enteros, los cuales han sido descritos de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: por un lado, se encontrarán los enteros positivos, los cuales serán asumidos igualmente como los elementos numéricos que conforman el conjunto de los Números naturales. En consecuencia, se entenderá que los números enteros positivos contarán con la misión de expresar cantidades exactas específicas, contar los elementos de un conjunto, o también asignarles un número o posición, que permita ordenarlos. Estos números se ubicarán a la derecha del cero, en la Recta numérica, punto desde donde se extenderán hacia el infinito. Cuentan con un signo positivo, el cual no siempre se anota al lado del número, dándose por sobre entendido en algunas ocasiones.
• Números enteros negativos: también, dentro del conjunto numérico Z, se encuentran los enteros negativos, elementos numéricos que son considerados elementos inversos a los enteros positivos. Por ende, estos números serán ubicados a la izquierda del cero en la Recta numérica, desde donde se extenderán hacia el infinito, en dirección siempre contraria a la que lo hacen los enteros positivos. Así mismo, los números enteros negativos contarán con un signo opuesto, el cual deberá acompañar siempre al número, para así diferenciarlo de su opuesto positivo. Estos números tendrán la misión de representar ausencia de cantidades enteras o exactas específicas.
• Cero: por último, el cero es también considerado como para de los Números enteros. Se ubica en la Recta numérica, en la mitad, punto en donde sirve de límite, y también de punto de origen, tanto a los enteros positivos, como los enteros negativos. Sin embargo, el cero no llevará ninguno de estos signos, ni pertenecerá a ninguno de estos dos números, puesto que no es considerado un número como tal sino un elemento o signo matemático por medio del cual se puede exponer la ausencia plena de cantidad.

División

En segunda instancia, será igualmente necesario pasar revista sobre el concepto de División, la cual ha sido explicada de forma general por las Matemáticas como la operación por medio de la cual se busca determinar cuántas veces se encuentra contenido un número, que hace las veces de Divisor, dentro de otro elemento numérico, que se establece como Dividendo, a fin de encontrar un resultado, denominado cociente. Algunos autores ven la División como una operación contraria a la Multiplicación, de ahí que se emplee este último procedimiento a la hora de comprobar la División.

Máximo común divisor

Por último será también importante tener en cuenta el concepto de Máximo común divisor. Para esto se deberá comenzar entonces recordando que las Matemáticas entienden como los divisores de un número a todos los números enteros capaces de dividir a un número entero determinado, produciendo junto a este una división exacta, y por ende un cociente constituido por un número entero específico. En consecuencia, el Máximo común divisor será el número entero positivo que resulte común entre los divisores de dos o más números enteros, y que además posea el valor mayor.

Ejercicios de Máximo común divisor

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, quizás puede ser mucho más sencillo abordar algunos ejercicios, en donde se pueda ver de forma concreta cómo debe procederse en cada caso, que implique, trabajar con el Máximo común divisor de dos o más números. A continuación, algunos de ellos:

Ejercicio 1

Determinas el Máximo común divisor de los siguientes números (4,8)

Al momento de dar cumplimiento por lo planteado dentro del postulado, se deberá comenzar entonces por calcular cuáles son los divisores positivos de cada uno de estos números:

Divisores del 4

4 : 1= 4
4 : 2= 2
4 : 4= 1

Divisores del 8

8 : 1= 8
8 : 2 = 4
8 : 4= 2
8 : 8 = 1

Hecho esto, se compararán los divisores obtenidos, a fin de poder encontrar cuál es el número común y de mayor valor entre ellos:

D(4)= 4, 2, 1
D (8)= 8, 4, 2, 1

Al hacerlo, se puede identificar entonces que el número 4 es el divisor común y de mayor valor entre ellos. Por lo tanto, quedaría simplemente expresar el resultado:

M.C.D (4, 8)= 4

Ejercicio 2

Determinar el Máximo común divisor de los siguientes elementos numéricos (3,9)

De igual forma, en este caso se procederá también calculando los divisores que pueden encontrarse en cada número, y luego simplemente determinando cuál es el número común y de mayor valor entre ellos:

Divisores del 3

3 : 1= 3
3 : 3 = 1

Al ser un número primo, el 3 solo puede ser dividido entre el 1, el -1, el 3 y su opuesto -3. En términos de encontrar el Máximo común divisor entonces se tomarán en cuenta solo los números enteros positivos que pueden constituir sus respectivos divisores.

Divisores del 9

9 : 1= 9
9 : 3 = 3
9 : 9= 1

Se comparan entonces los divisores obtenidos en cada caso, a fin de encontrar el número que se establece como común entre ellos:

D(3)= 3, 1
D(9)= 9,3,1

Al hacerlo, se determina que el número común y de mayor valor entre los múltiplos de estos números será el 3. Por consiguiente, se puede expresar el siguiente resultado:

M.C.D(3,9) = 3

Ejercicio 3

Determinar el Máximo común divisor de los siguientes números (2, 4, -8)

Tal como dice el concepto de Máximo común divisor, este número no solo puede resultar existente entre los divisores de dos números enteros, sino que también puede resultarlo entre más números, como por ejemplo en este caso. Para resolverlo, se deberá proceder igual que en todos los casos: calculando los respectivos divisores enteros positivos de cada número, y luego comparándolos para determinar cuál es el mayor número común entre ellos, es decir su Máximo común divisor:

Divisores del 2

2 : 1= 2
2 : 2= 1

Al ser un número primo, de hecho el número primo de menor valor, el 2 solo podrán ser dividido entre el 1, el -1, el 2 y el -2. En este caso, en aras de conseguir el Máximo común denominador, se tomarán en cuenta solo sus valores positivos.

Divisores del 4

4 : 1= 4
4 : 2= 2
4 : 4= 1

Divisores del -8

Aun cuando el número ha sido dado como negativo, a la hora de determinar cuáles son sus divisores, no se toma en cuenta el signo:

8 : 1 = 8
8 : 2= 4
8 : 4 = 2
8 : 8 = 1

Se procede entonces a comparar los divisores obtenidos:

D(2)= 2, 1
D (4)= 4, 2, 1
D (8)= 8, 4, 2, 1

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo el número común y mayor entre los divisores de estos tres números es el 2. En consecuencia, se puede expresar el resultado buscado:

M.C.D (2, 4, 8) = 2

Ejercicio 4

Escribe los conjuntos numéricos D(8) y D(32) y luego expresa el conjunto D(8) ∩ D(32)

Para dar respuesta al ejercicio planteado en este postulado, se deberá entonces comenzar por calcular los divisores de cada uno de los números ofrecidos, a fin de encontrar entonces los conjuntos solicitados:

Divisores del 8

8 : 1= 8
8 : 2= 4
8 : 4= 2
8 : 8 = 1

Divisores del 36

36 : 1= 36
36 : 2= 18
36 : 3= 12
36 : 4= 9
36: 6= 6
36 : 9= 4
36 : 12= 3
36 : 18= 2
36 : 36= 1

Hecho esto, se procede entonces a formar los dos conjuntos numéricos, en base a los divisores encontrados:

D(8)= {1, 2, 4, 8}
D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Se procede entonces a realizar la operación de intersección entre los dos conjuntos encontrados:

D(8) ∩ D(32) =

{1, 2, 4, 8} ∩ {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} =

D(8) ∩ D(32) = {1, 2, 4}

Se considera entonces resuelta la operación.

Ejercicio 5

Paola está organizando la fiesta de cumpleaños de Camilo, y ha decidido que a cada invitado le entregará una bolsa con galletas y chocolates. Su mamá ha decidido ayudarla, por lo que ha decidido regalarle 24 galletas y 20 chocolates. ¿Cuántas bolsas necesitará como máximo para meterá el total de estas golosinas? ¿Cuántas galletas y cuántos chocolates irá en cada una de ellas?

Así como se pueden plantear ejercicios en donde deba ser determinado el Máximo común divisor de forma directa, también puede ocurrir que este ejercicio sea planteado en forma de problema, como en este ejemplo. Para resolverlo, se deberá comenzar por analizar los datos que se han ofrecido en cada caso:

24 galletas
20 chocolates

Para saber cuántas bolsas se necesitará para meter equitativamente el total de estas golosinas, se deberá calcular el Máximo común divisor, puesto que para que puedan ser repartidas de formas iguales cada conjunto de golosinas debe ser divisible entre el número máximo de bolsa. Se calculan entonces los divisores de cada número, con el fin de su posterior comparación:

Divisores de 24

24 : 1= 24
24 : 2= 12
24 : 3 = 8
24 : 4= 6
24 : 6 = 4
24 : 8 = 3
24: 12= 2
24 : 24= 1

Divisores de 20

20 : 1= 20
20 : 2= 10
20 : 4= 5
20 : 5= 4
20 : 10= 2
20 : 20= 1

Se comparan entonces los divisores obtenidos:

D(24)= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
D (20)= 20, 10, 5, 4, 2, 1

Se determina entonces que el divisor común y de mayor valor entre ellos es el 4. Por ende, se expresa el resultado:

M.C.D(24, 20)= 4

Y se interpreta que Paola necesitará un máximo de 4 bolsas para repartir equitativamente las golosinas que desea repartir en la fiesta de Camilo. Ahora queda saber cuántas galletas y cuántos chocolates debe colocar en cada una, para lo que se procede a dividir el total de cada golosina, entre el número de bolsas:

24 : 4= 6 galletas
20 : 4= 5 chocolates.

Finalmente, se ha determinado entonces que Paola necesitará un total de máximo 4 bolsas para repartir equitativamente las golosinas, colocando en cada una de estas un total de 6 galletas, y 5 chocolates.

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