Definiciones fundamentales

No obstante, antes de continuar en el camino de definir y explicar las principales estructuras algebraicas que pueden encontrarse, será necesario revisar de forma breve algunas definiciones, indispensables para entender la terminología, naturaleza y estructura de este tipo de objetos matemáticos. En este sentido, puede entonces que se deba pasar revista sobre las definiciones de Conjunto, así también como de Operación interna y Operación externa. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Conjunto

En referencia a la definición de Conjunto, este ha sido definido por las Matemáticas como un tipo de objeto, conformado por una agrupación de elementos entre los cuales pueden encontrarse al menos un rasgo en común, de ahí que sean concebidos como elementos pertenecientes a una misma naturaleza, así también como una colección abstracta. Así mismo, las Matemáticas han señalado que los elementos del Conjunto cuentan con una tarea primordial, la cual desarrollan de una manera exclusiva, siendo entonces los únicos con la capacidad para conformar y definir el conjunto.

Operación interna

Así mismo, en aras de comprender mucho mejor las estructuras algebraicas, será necesario abordar la definición de Operación interna, la cual es explicada de forma general por las distintas fuentes como el tipo de aplicación o función ⁕ que sucede dentro de un conjunto, cuando se realiza una operación matemática dirigida a que cada par de elementos de AxA puedan coincidir con un único elemento de A. Este tipo de operación puede ser explicada igualmente en símbolos:

En donde ⁕ simboliza una ley interna en A si y solo si  ⁕: A x A → A

Esta operación interna también podría ser explicada de la siguiente forma (a₁, a₂) → a₁ ⁕ a₂

Operación externa

Por su parte, la operación externa tendrá lugar cuando esta sucede por fuera del conjunto, haciendo entonces que un conjunto B se relacione matemáticamente con otro conjunto A, para que así todo par (b,a) obtenido de la relación BxA se relaciones entonces con un único elemento de A. De esta forma, toda operación externa será toda aplicación o función ⁕ de BxA en A. Situación esta que también podría verse reflejada en forma de símbolos, en donde:

⁕ es operación o ley externa de A con operadores en B si y solo si B x A → A
o lo que equivale a (b, a) = b ⁕ a ∈ A

Principales estructuras algebraicas

Teniendo presentes estas definiciones, quizás entonces sí sea mucho más sencillo abordar cada una de las principales estructuras algebraicas, las cuales se diferenciaran una de otras, según el número y el tipo de operaciones que ellas involucren. A continuación, una breve descripción de cada una de ellas:

Con una operación interna

De esta forma, las estructuras algebraicas clasificadas en este renglón constituirán las estructuras más simples y pequeñas, puesto que solo cuentan con una ley de composición interna. Entre ellas, se encuentran las siguientes:

• Monoide: estará constituido por el par (A, ⁕) en donde entonces un conjunto no vacío establece una aplicación con una ley de operación interna, como por ejemplo en los casos (N, +) o (z, +). Distinguido también como un semigrupo, el monoide contará con la propiedad de contar con un elemento neutro, denominado e, cuya actuación puede verse en el siguiente ley: a ⁕ e= e⁕a= a. Esta ley, en el caso del monoide se cumple en el caso de que el conjunto escogido, por ejemplo el de los números naturales, incluya el cero, de esta forma entonces podrá dar igual a a, pues al no hacerlo, el resultado arrojaría entonces un semigrupo conmutativo.
• Semigrupo: por su parte, el Álgebra denomina como Semigrupo a todo monoide (A, ⁕) que cuente con una propiedad asociativa, la cual si se establece que los elementos a, b y c pertenecen a A (a∈A, b∈A y c∈A) entonces (a⁕b)⁕c=a⁕(b⁕c). Por otro lado, en el caso de los semigrupos también puede dársela propiedad conmutativa, en donde a⁕b=b⁕a, recibiendo además el nombre de semigrupo conmutativo. De igual forma, debido a que el elemento neutro recibe el nombre de identidad ocurre también que si el semigrupo cuenta con un elemento neutro será conocido como semigrupo con identidad.
• Grupo: por su parte el Grupo será un monoide (G, ⁕) que está conformado por un conjunto no vacío, en donde tiene lugar una operación interna que busca combinar cualquier par de elementos, que lleve a constituir un tercero, dentro del propio conjunto. Así mismo, el Grupo debe cumplir con la propiedad asociativa, al tiempo de tener también un elemento simétrico, así como un elemento inverso.
• Grupo conmutativo: Por su parte, el Álgebra abstracta describe al Grupo conmutativo como un Grupo –monoide, de forma (G, ⁕)- el cual además de cumplir con la operación interna, destinada a combinar cualquier par de elementos con algún elemento dentro del propio conjunto, cumple con la propiedad de ser conmutativo.

Con dos operaciones internas

Un poco más complejas, las Estructuras Algebraicas con dos operaciones internas serán aquellas, que como su nombre lo indica, presentan dos operaciones dentro del propio conjunto. En cuanto a la representación de cada una de ellas, el Álgebra ha indicado que se pueden usar respectivamente los símbolos ⁕ y º para mencionar cada una de las operaciones que constituyen la doble composición interna de estas estructuras, entre las cuales se encuentran las siguientes:

• Semianillo: en esta estructura se puede encontrar la 3-tupla (A, ⁕, º) en donde ⁕ representa la adicción, y º la multiplicación, de ahí que se diga entonces que el Semianillo está conformado por un conjunto A y dos operaciones binarias de adicción y multiplicación, respectivamente. Así mismo, esta estructura debe cumplir también con ciertas exigencias, según cada una de sus operaciones internas:

En el caso de (A,⁕) –es decir del conjunto y su operación de adicción- esta debe ser un semigrupo conmutativo, que además de ser monoide tenga un elemento neutro.

Así mismo (A, º) debe ser un semigrupo.

En el caso de las dos operaciones, se tiene que la multiplicación se distribuye sobre la adicción, por lo que: aº(b⁕c)=(aºb)⁕(aºc).

• Anillo: el anillo podrá definirse como una estructura algebraica, en la cual se encuentra un conjunto A no vacío y dos operaciones internas de suma y producto: (A, ⁕, º) en donde se cumplen a su vez ciertas propiedades:

(A, ⁕) debe ser un grupo conmutativo.

(A, º) debe ser un semigrupo

La multiplicación º es distributiva con respecto a la adicción ⁕.

Todo elemento tiene un inverso aditivo.

Si (A, º) llega a ser también un semigrupo conmutativo, se podrá hablar también de un anillo conmutativo.

Si (A, º) además de ser un semigrupo conmutativo, cuenta también con un elemento neutro, se denominará a la estructura como anillo conmutativo con elemento neutro.

• Cuerpo: dentro de las distintas Estructuras algebraicas se conoce como Cuerpo –llamada también campo- a una estructura de dos operaciones internas, caracterizada por la terna (K,⁕,º) en donde cada una de estas operaciones –es decir, las operaciones de adicción y producto- cumplen con ciertas reglas:

• Son asociativas
• Son conmutativas
  Son distributivas, de la multiplicación º con respecto a la adicción ⁕.
• Existe un inverso aditivo.
• Existe un inverso multiplicativo.
• Existe un elemento neutro para la adicción.
• Existe un elemento neutro para la multiplicación.
• La existencia de elementos neutros para ⁕ y º hacen posible también la realización de operaciones de resta y división.

• Así mismo, se puede inferir en la terna (K, ⁕, º) que esta estructura también es un anillo, así como (K-{0}, º) es un grupo, que si además llega a ser identificado como un grupo conmutativo, entonces convertiría inmediatamente al cuerpo, en un cuerpo conmutativo.

Con una operación interna y otra externa

De igual forma, existen estructuras algebraicas que cuentan con un conjunto A no vacío que sostiene operaciones tanto dentro de él como fuera de él. En este sentido, la estructura algebraica más conocida será el Espacio vectorial, el cual podrá ser representación la forma (V, ⁕v, _●K) en donde cada signo hace referencia a una operación u objeto:

V: representaría al conjunto no vacío

⁕v: representaría la operación interna, constituida por una suma, definida para cada uno de los elementos del conjunto.

_●K: por su parte, este signo evocaría la operación externa, consistente en una operación de producto por un escalar, que se realizaría entre el conjunto no vacío y otra colección abstracta, que debe tener estructura de cuerpo. 

En el caso del Espacio vectorial, se tiene que a los elementos de éste se le conoce con el nombre de vectores, mientras que los elementos que pueden encontrarse en el cuerpo reciben el nombre de escalares. Así mismo, entre las propiedades que debe cumplir el espacio vectorial, se encuentran las siguientes:

(K, ⁕, ●) debe ser un cuerpo.

(V, ⁕) constituye un grupo conmutativo.

Existe presencia de propiedad distributiva del producto ● sobre la adicción ⁕ para ambos objetos.

Igualmente se cumple la propiedad pseudoasociativa.

Hay presencia de elemento unidad.

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