Definición de Álgebra

De esta manera, el Álgebra puede ser definida entonces como una de las cuatro principales ramas de las Matemáticas (Ver más en Ramas de las Matemáticas) cuyo propósito será el estudio de las propiedades y combinaciones que pueden hacerse en base a entidades de estructura abstractas no numéricas, bien si estas pueden en algún momento ser interpretadas como números (Álgebra elemental) o si por el contrario se encuentran constituidas sólo por estructuras algebraicas, totalmente abstractas, las cuales nunca y en ningún momento pueden ser llevadas a números (Álgebra abstracta).

En consecuencia, se puede decir -a grandes rasgos- que el Álgebra es una disciplina y rama matemática que cumple con el propósito de estudiar las operaciones y combinaciones de elementos de estructura abstracta no-numéricos, a fin de entender el funcionamiento de operaciones matemáticas, de forma lo suficientemente generalizada, que pueda ser homologada a varios ámbitos. Cuando esta puede ser aplicada a entidades numéricas se hablara de Álgebra elemental (la cual a su vez se encontrará estrechamente relacionada con la Aritmética); en cambio cuando estos conocimientos sólo sean aplicables a entidades abstractas no numéricas se hablará de Álgebra abstracta o Álgebra moderna.

Historia del Álgebra

Como siempre que se trata de una creación humana, el Álgebra puede ser estudiada de acuerdo a su Historia, es decir a los distintos momentos que esta disciplina ha vivido, desde su concepción en el seno de la sociedad humana hasta la actualidad, tomando en cuenta por su puesto aquellos de mayor relevancia, en relación a las grandes invenciones o hallazgos que han tenido lugar dentro de ella, y que por razones prácticas también tienden a analizarse de acuerdo a la época en la cual han sucedido, tal como se muestra a continuación:

Edad Antigua

De acuerdo a lo que indican las distintas fuentes históricas, el origen del Álgebra puede rastrearse en las primeras civilizaciones del Mundo Antiguo, en especial en Babilonia, donde por ejemplo los investigadores han llegado a concluir que existía un sistema aritmético bastante avanzado, con el cual los matemáticos babilónicos lograban realizar cálculos a través del uso e implementación de logaritmos, logrando resolver en aquel remoto momento operaciones que hoy en día son resueltas por la academia a través de ecuaciones (bien si son de tipo lineal, indeterminadas o de segundo grado).

Sin quedarse atrás, los matemáticos del antiguo Egipto lograron también lograron desarrollar un método para alcanzar estas soluciones. Sin embargo, se decidieron –coincidiendo en esto con los matemáticos chinos, quienes llegaron a la misma conclusión en su propio momento- por un método que les permitía desarrollar ecuaciones a través de figuras y operaciones geométricas, lo cual quedó plasmado en trabajos de célebres matemáticos como por ejemplo Euclides.

De esta fuente egipcia bebió posteriormente la civilización helénica, quien se convirtió en la creadora de un álgebra de tipo geométrico, método que consistía en identificar términos matemáticos, los cuales eran representados como lados de una figura geométrica, cada uno de los cuales era nombrado o denominado a través de una letra, lo cual marcó el inicio de la utilización simbólica de elementos abstractos no-numéricos. Entre los matemáticos helénicos que más se destacaron en el desarrollo y práctica de este método, se encuentran Herón de Aljandría (10 d.C.- 70 d.C.) y Diofanto de Alejandría (siglo III d.C., y a quien la Historia le atribuye el título de Padre del Álgebra). No obstante, Grecia no llegó sola a esta conclusión, puesto que los matemáticos de la India, en especial Brahmagupta tomaron en cuenta también la herencia egipcia desarrollando un nivel algebraico bastante desarrollado, el cual involucra ya para esta época las ecuaciones cuadráticas, el uso del cero y la obtención de soluciones negativas, rasgos que pueden encontrarse en su obra más representativa Brahmasphutasiddhanta.

Edad Antigua y Edad Media

Sin embargo, el Álgebra estaba destinada a vivir una evolución todavía mayor, la cual llegaría de la mano de los matemáticos islámicos, tanto árabes como persas. En este sentido, destaca como fundamental el trabajo realizado por Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi ( ? 750 d.C.- 850 d.C.) matemático y astrónomo persa, mejor conocido en el mundo occidental como Al Juarismi, y quien pudo -entre muchos otros logros- usar el cero y los números negativos, así como resolver ecuaciones, cuadráticas y lineales, a pesar de que para ese momento no contaba con un simbolismo algebraico como tal.

Así mismo, Al Juarismi es el autor de la obra Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala (título traducido al Español como Compendio de cálculo por reintegración y comparación) y cuyo alcance llega incluso a introducir la palabra al-ŷarabi (Álgebra) en el ámbito matemático para nombrar a este tipo de operaciones, conducidas a expresar de forma mucho más reducida y abstractas las diversas operaciones y combinaciones realizadas en base a elementos de estructura abstracta no-numérica.

De igual forma, el pueblo persa contó con varios matemáticos que realizaron importantes aportes a las Matemáticas en general, y al Álgebra en específico. Entre ellos se encuentran por ejemplo Al- Karaji (953 d.C – 1029 d.C) quien en su momento histórico logró resolver ecuaciones de grados tres, cuatro y cinco, así también como ecuaciones polinómicas, las cuales llaman la atención por la implementación de avanzados métodos numéricos por parte de este matemático persa. Igualmente, resalta el trabajo de Omar Khayyan (1048 d. C. – 1131 d.C.) quien se erige como el matemático que desarrolló el ámbito de la geometría algebraica. Igualmente, fue Khayyam quien logró solucionar por primera vez la ecuación cúbica, a la cual le dio una solución geométrica. Por su parte, se podría decir que en el siglo siguiente, Sharaf Al-Din al-Tusi (1135 – 1213) también matemático persa realizó otro gran aporte al ámbito del Álgebra al lograr solucionar también ecuaciones cúbicas, solo que a diferencia de Khayyam, Sharaf Al-Din al-Tusi logró encontrar para ella soluciones tanto numérica, como algebraicas. Así también es a este matemático persa a quien se le debe la definición de Función.

Edad Moderna

Superada la Edad Media, e incluso terminado el propio Renacimiento (primera etapa de la Edad Moderna) el centro del desarrollo matemático había sido asumido nuevamente por Europa, continente que a través del aporte árabe había podido conocer todo lo que en materia Matemática se había forjado en el seno de la civilización babilónica, egipcia, helénica, india, persa y por su puesto árabe.

A nivel algebraico, los trabajos de los primeros estadios de la Edad Moderna estuvieron concentrados sobre todo en el estudio e intento de solución sobre las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado, como una forma de continuar el trabajo iniciado en la antigua babilonia, en donde desde hace siglos se conocían las ecuaciones de segundo grado, y el cómo resolverlas. Sin embargo, no sería hasta el siglo XVI en Italia en que esto se lograría dando así resolución a una incógnita de centurias.

Durante el siglo siguiente, tuvieron lugar importantes descubrimientos tanto en oriente como occidente. De esta manera, resalta el trabajo de Kowa Seki (1642 – 1708) matemático japonés a quien se le atribuye en descubrimiento de la determinante. En occidente, en cambio, uno de los avances algebraicos más importantes vino de mano del matemático alemán Gottfried Leibniz (1646 – 1716) quien por su parte, y haciendo uso de las matrices, consiguió dar solución a sistemas de ecuaciones lineales, dispuestas de forma simultánea, lo que constituyó un avance sin precedentes en el ámbito. Durante estos siglos también se vivió un importante avance, constituido por la concepción del número complejo, definición que ayudaría a lograr que el Álgebra avanzara hacia el uso de cantidades medibles.

Edad Contemporánea

Igualmente, la Edad contemporánea significó una época de grandes avances. En este sentido, los expertos en Historia de las Matemáticas resaltan algunos matemáticos del siglo XVIII (primera etapa de esta edad histórica) quienes con sus trabajos lograron grandes avances en el Álgebra, y entre los que se pueden contar  Gabriel Cramer (1704 – 1752) por sus trabajos con matrices y determinantes; Leonhard Euler (1707 – 1783) a quien se le atribuye el haber hecho el primer tratamiento analítico del Álgebra y ser el autor de la obra Introducción al álgebra (1770);  Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1767) de quien la Historia resalta especialmente sus aportes a la Teoría de las Ecuaciones;  Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) por sus grandes aportes al Álgebra abstracta.

Posteriormente, el siglo XIX se caracterizó por un arduo trabajo de clasificación matemática, del cual se origina la conceptualización  del Álgebra Abstracta, la cual se desarrolla sobre todo basada en parte en la Teoría de Galois, así como por las generalizaciones que hizo Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) sobre las estructural algebraicas. Logrando  así que el siglo XIX pasara entonces a la historia como la centuria en donde el Álgebra avanzó más respecto a su desvinculación de otras ramas como la Aritmética y la Geometría, en la medida en que alcanzaba dimensiones mucho más abstractas de lo que había conseguido en toda su Historia, hasta ese momento.

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