Uno de los dos casos que pueden darse sobre la Identidad de Legendre ocurre cuando los binomios cuadrados conjugados establecen entre ellos una operación de sustracción o diferencia. Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre la forma en que debe procederse en este tipo de situaciones matemáticas, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán que se entienda la aplicación de esta identidad notable de forma contextualizada.
Definiciones fundamentales
Por consiguiente, también se decidirá delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Binomios conjugados e Identidades notables, por encontrarse directamente relacionados con el caso de Identidad de Legendre, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:
Binomios
De esta manera, se comenzará por decir que los binomios han sido explicados, de forma general, como un tipo de expresión algebraica, que se encuentra constituida por la suma o resta de dos monomios, es decir, de dos términos algebraicos, que se encuentran conformados a su vez por un elemento numérico y un elemento literal que sostienen una operación de multiplicación entre ellos, siendo esta la única operación permitida.
Ergo, los binomios pueden ser comprendidos igualmente como polinomios de dos términos. Algunos ejemplos de esta clase de expresiones algebraicas serán la siguiente:
2x3 – y =
a + b =
x2 + 4=
Binomios conjugados
En segunda instancia, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Binomios conjugados, los cuales han sido explicados como uno de los distintos tipos de relaciones entre binomios, que puede encontrarse en la Aritmética.
De forma mucho más precisa, los Binomios conjugados serán también explicados como aquellos pares binomios que se caracterizan por contar con exactamente los mismos términos, diferenciándose entonces sólo por el signo que relaciona sus propios términos, es decir, mientras en un binomio los términos se suman, en el otro han establecido una operación de resta. A continuación, algunos ejemplos de este tipo de binomios:
3x + y / 3x – y
2a + b2 / 2a – b2
4x2 + z / 4x2 – z
Identidades notables
Por último, se pasará revista igualmente sobre el concepto de identidades notables, las cuales son vistas como un conjunto de normas o fórmulas matemáticas, que tienen como orientación la factorización, es decir, el proceso por medio del cual un polinomio logra expresarse como un producto.
Así mismo, los distintos autores han señalado que las identidades notables cuentan con la cualidad de permitir que la multiplicación entre polinomios ocurra de forma directa, lo cual hace entonces que los procedimientos puedan realizarse en menor tiempo, mientras se reduce también de forma considerable la posibilidad de cometer errores.
Identidad de Legendre para la diferencia
Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Identidad de Legendre para la diferencia, la cual ha sido explicada entonces como uno de los dos casos que pueden darse en relación a la factorización de binomios cuadrados conjugados.
En este sentido, las Matemáticas han señalado que siempre que se desee factorizar dos binomios conjugados, entre los cuales existe una diferencia o resta, y se quiera aplicar la Identidad de Legendre, entonces el producto de estos binomios será igual al cuádruple del producto de los términos. Esta fórmula matemática puede ser expresada de la siguiente manera:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplo de aplicación de Identidad de Legendre para la diferencia
Sin embargo, puede que la forma más idónea de concluir una explicación sobre la aplicación de la Identidad de Legendre en casos donde los binomios cuadrados conjugados se restan, sea a través de la explicación de un ejemplo concreto, en donde se pueda ver cómo llevar a cabo este tipo de factorizaciones, por medio de esta identidad notable. A continuación, el siguiente ejercicio:
Factorizar los siguientes binomios:
(2x + 7)2 – (2x + 7)2 =
Lo primero que debe hacerse al querer factorizar estos binomios será revisar la naturaleza de los términos que participan de la operación. Al hacerlo, efectivamente se encuentra que se trata de factorizar la diferencia entre dos binomios cuadrados conjugados. Por consiguiente, se decide, entre algunas opciones de resolución, que se hará por medio de la Identidad de Legendre para estos casos.
De esta forma, se comienza entonces por recordar cuál es la fórmula matemática que esta identidad notable designa para estos casos:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Se procede entonces a aplicar esta identidad notable en los binomios que se desea factorizar:
(2x + 7)2 – (2x + 7)2 = 4 . (2x) .(7)
Hecho esto, se procede entonces a resolver las distintas operaciones que han surgido al aplicar la identidad:
4 . (2x) .(7) = 8x . 7
8x . 7 = 56x
Por último, se deberá expresar el resultado que se ha obtenido:
(2x + 7)2 – (2x + 7)2 = 56x
Identidad de Legendre para la suma
Otro caso que puede darse en cuanto a la identidad de Legendre es que los binomios cuadrados conjugados sostengan entre ellos una operación de suma. En caso de que esto fuese así, y se deseara factorizarlos aplicando esta identidad notable, entonces el producto sería igual al doble de la suma de los cuadrados de sus términos. Este caso de identidad de Legendre puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
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