Identidad de Legendre (Suma)

Definiciones fundamentales

De esta manera, también será necesario delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Binomios conjugados e Identidades notables, por encontrarse directamente relacionados con el caso que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de las siguientes definiciones:

Los binomios

En consecuencia, puede comenzarse a decir que los Binomios han sido explicados, de forma general, por las distintas fuentes matemáticas, como una expresión algebraica, constituida por la suma o resta de dos términos algebraicos o monomios, es decir, por términos que se encuentran conformados a su vez por un elemento numérico y un elemento literal que sostienen entre ellos una operación de multiplicación, siendo esta la única operación posible.

Por consiguiente, hay fuentes matemáticas que prefieren denominarlos también como polinomios de dos términos. Seguidamente, algunos ejemplos que pueden encontrarse sobre este tipo de expresiones algebraicas:

3x² – y=
a³ + b² =
2x – z =

Binomios conjugados

Por su parte, también se lanzarán luces sobre el concepto de Binomios conjugados, los cuales han sido explicados, a grandes rasgos, como uno de los distintos tipos de casos que pueden darse en cuanto a los binomios.

De forma particular, los Binomios conjugados serán el par de binomios que se caractericen por contar exactamente con el mismo tipo de elementos, siendo la única diferencia entre ellos el signo o la operación que sostienen sus monomios. Algunos ejemplos de binomios conjugados serán los siguientes:

x² + b  /  x² –b
3x – z / 3x + z
5x² + z  /  5x² – z

Identidades notables

Por último, se pasará revista igualmente sobre el concepto de Identidades notables. Al respecto, se puede decir de forma general que estas identidades son un conjunto de reglas matemáticas, cuyo objetivo preciso es la factorización de polinomios.

De esta manera, las Identidades notables constituyen una serie de reglas o fórmulas matemáticas, que permiten la realización de multiplicación de polinomios –o factorización- de forma directa, sin la necesidad de que este tipo de operaciones deba hacerse término por término, lo cual entonces evita la aparición de errores en el proceso, significando además un ahorro de tiempo significativo.

Las identidades notables son entonces parte también de los productos notables, y del proceso de factorización de polinomios.

Identidad de Legendre para la suma

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse al concepto de Identidad de Legendre para la suma, la cual constituye uno de los dos posibles casos de factorización para los binomios cuadrados conjugados, que implica esta identidad notable.

De una forma mucho más específica, las Matemáticas han señalado que siempre que exista una suma entre dos binomios cuadrados conjugados, es decir, que estén compuestos por dos binomios, que se encuentren elevados al cuadrado y que se distingan solo por su signo, pueden factorizarse a través de la aplicación de la Identidad de Legendre, fórmula matemática que indica que el resultado será siempre igual al doble de la suma de los cuadrados. Esta identidad notable puede expresarse matemáticamente en la siguiente fórmula:

(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)

Ejemplos de la Identidad de Legender cuando los binomios conjugados de suman

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre este tipo de identidad notable sea a través de la revisión de algunos ejemplos, que permitan ver de forma concreta cómo debe aplicarse esta fórmula matemática. A continuación, los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Resolver la siguiente operación:

(x + 1)² + (x – 1)² =

En primer lugar, al abordar este ejercicio, se deben revisar los términos entre los que se sostiene. Al hacerlo, se descubre entonces que se trata de la suma de dos binomios cuadrados conjugados, puesto que son dos binomios, con iguales elementos, pero distintos signos u operaciones entre sus términos.

Por ende, una de las formas de factorizar este elemento, es decir, de convertirlo en producto, será a través de la Identidad de Legendre, para estos casos. Para aplicarla, primero deberá recordarse su fórmula:

(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)

Al tener esta fórmula presente, se procede entonces a aplicarla a los binomios cuadrados conjugados que se desean factorizar:

(x + 1)² + (x – 1)² = 2(x² + 1²)

Se procede también a resolver las distintas operaciones planteadas, al aplicar la fórmula de la Identidad de Legendre:

2(x² + 1²) = 2 (x² + 1)

2 (x² + 1) = 2x² + 2

Finalmente, resueltas las distintas operaciones, surgidas con la aplicación de la fórmula, se procede entonces expresar el resultado obtenido de forma matemática:

(x + 1)² + (x – 1)² = 2x² + 2

Ejercicio 2

Factorizar los siguientes binomios:

(x + 3)² + (x – 3)² =

En este caso, igualmente, se trata de la suma de dos binomios cuadrados conjugados. Por lo tanto, la Identidad de Legendre es una posibilidad de solución, si se toma en cuenta que el producto de estos binomios será entonces igual al doble de la suma de los cuadrados de los términos. Se toma entonces la fórmula de esta identidad notable, y se aplica al ejercicio:

(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)

(x + 3)² + (x – 3)² = 2(x² + 3²)

Se resuelven las operaciones planteadas, y se expresa finalmente el resultado:

2(x² + 3²) = 2(x² + 9)
2(x² + 9) = 2x² + 18
(x + 3)² + (x – 3)² = 2x² + 18

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