Definiciones fundamentales

En este sentido, surge como necesario abordar la propia definición de Conjunto, así como también las de aquellos tipos de conjuntos relacionados a la complementariedad, y los conceptos de las operaciones que se encuentran involucradas en la Ley de Morgan con respecto a la Intersección. A continuación, cada una de las definiciones:

Conjunto

De esta manera, se puede comenzar por decir que las Matemáticas han definido al Conjunto como una colección abstracta, conformada y definida, de forma única por elementos, entre los cuales debe existir al menos un rasgo en común, de ahí que puedan ser entendidos como parte de la misma naturaleza, así también como una agrupación o colección. Con respecto a su notación, las distintas fuentes señalan que los conjuntos deben ser anotados de acuerdo a tres parámetros específicos: en primer lugar, que su nombre corresponda al de una letra mayúscula; así mismo, el conjunto debe presentar sus elementos siempre en forma de listado, separados por comas y contenidos entre dos signos de llaves { }.

Conjunto complementario

Igualmente es importante llamar la atención sobre la definición de Conjunto complementario, el cual puede ser tenido entonces como una colección, en donde se encontrarán como elementos todos aquellos que no aparecen en el conjunto con el cual establece la relación de complementariedad, teniendo como referente al Conjunto Universal, es decir, el conjunto en donde se pueden encontrar, de forma plena, la totalidad de elementos de un universo determinado. Así mismo, las Matemáticas han señalado que, en términos matemáticos, el Conjunto complementario puede ser determinado a través de una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el conjunto:

A^∁ = U\\A

Unión de conjuntos

Por otro lado, también será necesario traer a capítulo las definiciones de cada una de las operaciones que tienen lugar dentro de la Ley de Morgan con respecto a la Intersección. En este sentido, se puede comenzar entonces por la Unión de Conjuntos, la cual ha sido definida de forma general, por las distintas fuentes teóricas, como una operación del Álgebra de conjuntos en donde dos colecciones forman un tercer conjunto, en donde se pueden contar como elementos todos aquellos que eran parte de los conjuntos que participaron de la operación. La expresión matemática de esta operación puede ser la siguiente:

A ∪ B= │A│ + │B│

Intersección de conjuntos

En cuanto a la Intersección de conjuntos, esta puede ser explicada entonces como la operación del Álgebra de conjuntos, en donde dos colecciones abstractas establecen una relación de intersección entre ellas, conformando un tercer conjunto, que tendrá como elementos aquellos que resulten comunes a los conjuntos que han hecho parte de la operación. Es decir, que en el conjunto nuevo quedan por fuera todos los elementos que no puedan encontrarse en ambos conjuntos. La expresión matemática de esta operación esta:

A ∩ B=

Diferencia

Finalmente, se puede revisar también la definición de la operación de Diferencia, que puede ser entendida como aquella operación del Álgebra de conjuntos, en donde dos colecciones establecen –como el nombre de la operación lo indica- una operación de diferencia, creando un tercer conjunto en donde se anotarán como elementos todos aquellos elementos que no se encuentran en el segundo conjunto. Es decir, si se tiene un conjunto A y un conjunto B, y entre ellos se establece una operación de diferencia, se creará un conjunto A\\B en donde se podrán contar como elementos todos aquellos elementos de A que no están en B.

Ley de Morgan con respecto a la Intersección

Teniendo presentes todas estas definiciones, es probable que pueda explicarse mucho más eficiente la Ley de Morgan con respecto a la Intersección en la complementariedad, la cual dicta expresamente que, siempre y en todo caso, el Conjunto complementario de la intersección entre A y B será exactamente equivalente a la unión que puede existir entre los respectivos conjuntos complementarios de A y de B. Sin embargo, la forma más práctica de entender las operaciones y relaciones a las que hace referencia esta propiedad, pueda que sea a través de su expresión matemática:

(A ∩ B)^∁ = A^∁  ∪ B^∁

Ejemplo de la Ley de Morgan sobre la Intersección

No obstante, quizás todavía haga falta usar un caso concreto en donde se pueda comprobar que ciertamente se cumplen las equivalencias señaladas por esta propiedad matemática. A continuación, un ejemplo sobre cómo se cumple la Ley de Morgan con respecto a la Intersección:

Dado un conjunto A, conformado por nombres de instrumentos musicales: A= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Piano, Violín} y un conjunto B, constituido por nombres de instrumentos musicales de cuerda: B= {Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo} determinar si realmente se cumple la Ley de Morgan sobre la Intersección en la complementariedad, tomando en cuenta el Conjunto Universal para ambos caso, será el siguiente: U= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

A fin de poder llevar a cabo la solicitud hecha en este postulado, será necesario entonces traer a colación la expresión matemática de la propiedad que quiere comprobarse, a fin de poder realizar las distintas operaciones que ella señala:

(A ∩ B)^∁ = A^∁  ∪ B^∁

Hecho esto, se empezará a resolver la primera operación, la cual estará destinada a determinar cuál es el conjunto resultante de la Intersección de las colecciones A y B, a fin de poder posteriormente encontrar su complemento:

A= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Piano, Violín}
B= {Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo}

A ∩ B=
A ∩ B= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Piano, Violín} ∩ {Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo}

A ∩ B= {Guitarra, Piano, Violín}

Con este resultado, se procederá entonces a hallar el complemento de A ∩ B, por lo que se someterá a este conjunto y al Conjunto Universal a una operación de Diferencia:

A ∩ B= {Guitarra, Piano, Violín}
U= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}.

(A ∩ B)^∁= U\\ A ∩ B
(A ∩ B)^∁= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta} \\ {Guitarra, Piano, Violín}

(A ∩ B)^∁= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

Así mismo, se deberán determinar los complementarios de A y B, por lo que se someterán cada uno de estos conjuntos a operaciones de diferencia con respecto al Conjunto Universal:

Complemento de A

A= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Piano, Violín}
U= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

A^∁ = U\\A

A^∁ = {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta} \\ {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Piano, Violín}

A^∁ = {Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

Complemento de B

B= {Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo}
U= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

B^∁= U\\B
B^∁=  {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta} \\ {Guitarra, Bandolina, Piano, Violín, Viola, Cuatro, Bajo}
B^∁=  {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

Así mismo, se realizará entonces una operación de Unión entre los conjuntos complementarios obtenidos:

A^∁ = {Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}
B^∁=  {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

A^∁ ∪ B^∁=

A^∁ ∪ B^∁= {Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta} ∪ {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}

A^∁ ∪ B^∁= {Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta, Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete}

Finalmente, se comparan ambos resultados, a fin de poder determinar si existe o no una correspondencia entre ellos:

(A ∩ B)^∁= {Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete, Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta}
A^∁ ∪ B^∁= {Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta, Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete}

De no contar con el mismo orden de elementos, se pueden organizar en el orden necesario, sin que esto afecte al conjunto como tal:

(A ∩ B)^∁= {Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta, Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete}
A^∁ ∪ B^∁= {Bandolina, Viola, Cuatro, Bajo, Triángulo, Platillos, Trombón, Timbales, Trompeta, Pandereta, Flauta, Xilófono, Saxofón, Clarinete}

Se encuentra entonces que efectivamente, las equivalencias se cumplen, por lo que puede considerarse comprobada la Ley de Morgan respecto a la Intersección en el conjunto complementario:

(A ∩ B)^∁ = A^∁  ∪ B^∁

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