Definiciones fundamentales

En este sentido, lo mejor será comenzar por el propio concepto de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto matemático sobre el cual se da la relación de complementariedad. Así mismo, puede ser pertinente revisar las distintas definiciones de los tipos de conjuntos involucrados en torno a esta propiedad, así como las operaciones que hacen parte de ella. A continuación, las siguientes definiciones:

Conjunto

Con respecto al Conjunto, las distintas fuentes teóricas coinciden en señalarlo como un objeto matemático, conformado por un número de elementos, entre los cuales puede distinguirse un rasgo en común, de ahí que puedan ser considerados como pertenecientes a una misma naturaleza. Igualmente, las Matemáticas señalan que el Conjunto se caracteriza principalmente por ser una agrupación conformada y definida, de forma única y exclusiva por sus elementos.

Conjunto complementario

Por su parte, el Conjunto complementario será aquella colección que cuente entre sus elementos, todos aquellos que no aparecen en el conjunto con el cual establece la relación de complementariedad, teniendo además como referencia el Conjunto Universal, en donde estarán todos los elementos que pertenecen a ese universo en específico. Para expresarlo en términos matemáticos, el Conjunto complementario puede también ser entendido como el resultado de la operación de Diferencia que puede ocurrir entre el Conjunto Universal y el Conjunto:

A^∁ = U\\A

Unión de conjuntos

Así mismo, será necesario revisar las definiciones de las operaciones que entran en juego en la Ley de Morgan con respecto a la Unión, operación del Álgebra de conjuntos que puede ser definida como el procedimiento matemático por medio del cual dos conjuntos se unen, formando un tercer conjunto, en donde pueden contarse como elementos todos aquellos pertenecientes a los conjuntos que han participado de la operación. La expresión matemática de esta operación corresponderá entonces a la siguiente:

A ∪ B= │A│ + │B│

Intersección de conjuntos

En cuanto a la operación de Intersección de conjuntos, esta ha sido descrita por las diferentes fuentes del Álgebra de conjuntos como una operación en la cual dos conjuntos establecen una relación de intersección, para dar lugar a un tercer conjunto, en donde se encontrarán aquellos elementos comunes, a los conjuntos que han participado de la operación. Así mismo, el Álgebra de conjuntos cuenta con una expresión matemática para la Intersección de conjuntos:

A ∩ B =

Ley de Morgan respecto a la Unión

Con estas definiciones presentes, quizás ciertamente resulte mucho más sencillo explicar la Ley de Morgan sobre la Unión en la complementariedad, la cual puede ser entendida como una propiedad matemática, que reza que, siempre y en todo caso, el conjunto complementario de la unión entre dos conjuntos, será equivalente a la intersección que puede existir entre los cada uno de los conjuntos complementarios. Por su lado, esta Ley podrá expresarse, matemáticamente hablando, de la siguiente manera:

(A ∪ B)^∁ = A^∁ ∩ B^∁

Ejemplo de la Ley de Morgan sobre la unión

No obstante, quizás todavía falte exponer un caso en donde puedan comprobarse ciertamente las equivalencias que esta ley matemática señala. A continuación, entonces, un ejemplo de cómo se cumple la Ley de Morgan con respecto a la Unión en el Conjunto complementario:

Dado un conjunto A, conformado por nombres de frutas: A= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada} y un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos nombres de frutas cítricas: B= {Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá} comprobar si se cumple la Ley de Morgan sobre a Unión en la complementariedad, tomando en cuenta además el Conjunto Universal: U= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Naranja, Maracuyá}

Para cumplir con la solicitud que presenta este postulado, será necesario traer a colación la expresión matemática de esta Ley de Morgan, a fin de ir desarrollando las distintas operaciones que ella plantea:

(A ∪ B)^∁ = A^∁ ∩ B^∁

En consecuencia, la primera operación que deberá desarrollarse es la intersección entre el conjunto A y el Conjunto B, para con esto, posteriormente calcular el complemento:

A= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada}
B= {Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá}

A ∪ B= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada} ∪ {Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá}
A ∪ B= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá}

Obtenido el conjunto resultante de la intersección, se procederá entonces a determinar cuál es el conjunto complementario de éste, para lo cual se debe realizar una operación de Diferencia, entre el Conjunto Universal y el Conjunto para determinar entonces el complementario:

A ∪ B= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá}
U= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Naranja, Maracuyá}

(A ∪ B)^∁ = U\\ A ∪ B

(A ∪ B)^∁ = {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Naranja, Maracuyá} \\ {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá}

(A ∪ B)^∁ = {Papaya, Papayuela, Guayaba}

Así mismo, se deberán calcular los conjuntos complementarios, tanto de A como de B, para lo que se someterá a cada uno de estos conjuntos a una operación de Diferencia con el Conjunto Universal:

Complemento de A

A= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada}
U= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Naranja, Maracuyá}

A^∁= U\\A

A^∁= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Naranja, Maracuyá} \\ {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Maní, Manzana, Pera, Limón, Lima, Mandarina, Uva, Granada}

A^∁= {Papaya, Papayuela, Guayaba, Naranja, Maracuyá}

Complemento de B

B= {Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá}
U= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Naranja, Maracuyá}

B^∁= U\\B
B^∁= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Mandarina, Uva, Granada, Limón, Lima, Naranja, Maracuyá} \\ {Limón, Lima, Mandarina, Naranja, Maracuyá}
B^∁= {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Uva, Granada}

Teniendo estos conjuntos complementarios, se procederá entonces a realizar una operación de intersección entre ellos:

A^∁ ∩ B^∁ =

A^∁ ∩ B^∁ = {Papaya, Papayuela, Guayaba, Naranja, Maracuyá} ∩ {Níspero, Mamoncillo, Kiwi, Papaya, Papayuela, Guayaba, Maní, Manzana, Pera, Uva, Granada}

A^∁ ∩ B^∁ = {Papaya, Papayuela, Guayaba}

Obtenidos los resultados de todas las operaciones, se deberá entrar a revisar entonces si realmente se cumplen las distintas equivalencias de la expresión matemática de la Ley de Morgan con respecto a la Unión:

(A ∪ B)^∁ = {Papaya, Papayuela, Guayaba}
A^∁ ∩ B^∁ = {Papaya, Papayuela, Guayaba}

(A ∪ B)^∁ = A^∁ ∩ B^∁

{Papaya, Papayuela, Guayaba} = {Papaya, Papayuela, Guayaba}

Al hacerlo, se puede ver cómo coinciden en cada uno de sus elementos. Por lo que además se puede considerar comprobada la Ley de Morgan con respecto de la Unión en relación al Conjunto Complementario.

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