Definiciones fundamentales

De esta manera, puede que lo mejor sea delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes y Magnitudes inversamente proporcionales, por encontrarse directamente relacionados con el procedimiento matemático, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Las razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones, han sido explicadas por las Matemáticas, como un tipo de expresión que es usada para dar cuenta del cociente existente entre dos números, es decir, de la cantidad de veces que se encuentra incluido un Divisor dentro de un Dividendo. Algunos ejemplos de razones serán las siguientes:

De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes se encuentran conformados por dos elementos: el Antecedente, que ocupa el ámbito superior de la razón, al tiempo que señala el Dividendo de la operación; y el Consecuente, que se encuentra en la parte inferior de esta expresión, mientras que se encarga de expresar el Divisor de la operación que señala la Razón, y que conduce al Cociente que este señala.

Así también, las Matemáticas han señalado que las Razones y las Fracciones cuentan con estructuras similares, pese a que debe tenerse cuidado en no confundirlas, puesto que se tratan de expresiones diferentes, conformadas por elementos diferentes. De esta forma, las Razones –constituidas por el Antecedente y el Consecuente- señalan el cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –conformadas por Numeradores y Denominadores- expresarán cuántas partes se han tomado de una unidad, que se encuentra a su vez dividida en partes iguales.

Proporciones

En segunda instancia, será también necesario tomar un momento para revisar la definición de Proporciones, las cuales han sido explicadas como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Ergo, dos razones proporcionales serán dos razones iguales. Entre los distintos ejemplos que pueden encontrarse sobre las razones estarán las siguientes:

Al revisar estas expresiones, se podrá ver cómo ninguna de ellas cuenta con elementos que no coinciden entre sí, y sin embargo, se considerarán como razones proporcionales, puesto que si las dos se resolvieran, darían lugar al mismo cociente. En este caso, ambas razones darían como resultado el número 2. Por ende, al ser expresiones del mismo cociente, se pueden considerar entonces razones proporcionales.

Empero, esta no es la única forma de descubrir si dos razones son proporcionales o no. Para esto, las Matemáticas también proponen usar el método de los extremos y los medios. Es decir, multiplicar los extremos entre sí –el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- y los medios –el Consecuente de la primera expresión por el Antecedente de la segunda razón. Si estos productos coinciden entre sí, entonces las proporciones serán proporcionales:

Este rasgo será conocido como una de las principales Leyes de la proporción, y resulta bastante útil a la hora de determinar alguno de los elementos, que pudiera resultar desconocido. Para esto será necesario simplemente aplicar una Regla de tres simple directa, en la que se debe simplemente multiplicar los elementos que se conocen, mientras que se dividirá entre el único elemento que se conoce del ámbito que se quiere completar:

Magnitudes

En tercer lugar, también será necesario revisar la definición de Magnitudes, las cuales han sido explicadas como aquellos conjuntos de elementos que cuentan con la propiedad de sumarse, compararse y ordenarse, en base a otras unidades, que le resulten iguales o semejantes.

Magnitudes inversamente proporcionales

Así también, las Matemáticas señalan que las Magnitudes inversamente proporcionales pueden ser entendidas como el conjunto de magnitudes, en donde se cumple la propiedad de que cuando una de ellas se multiplica por un elemento o factor específico, la otra que participa de este conjunto, se divide entre el mismo factor. Por igual, de manera inversa, toda vez que el primer elemento se divide entre un factor, el otro se multiplica.

Método de reducción a la unidad (Regla de tres simple inversa)

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que sea mucho más sencillo abordar la definición del Método de reducción a la unidad, aplicado en la Regla de tres simple inversa, procedimiento que tiene como objetivo descubrir la relación proporcional que existe en una Magnitud inversamente proporcional, a fin de poder saber qué sucedería si uno de sus elementos se multiplicara por un factor específico, y el otro hiciera lo cuyo dividiéndose entre esta.

Así mismo, dada la Magnitud inversamente proporcional, el Método de la Reducción a la Unidad avanzará hacia tratar de conocer cuál es la relación proporcional de la unidad, a fin de con este conocimiento poder establecer otras relaciones. Con respecto a la forma correcto en que debe resolverse un ejercicio de este tipo, las Matemáticas señalan los siguientes pasos:

1.  Exponer toda la información que ha dado el ejercicio.
2. Dividir el primer el elemento entre sí mismo, para obtener la unidad.
3. Siendo consciente de la dinámica de las Magnitudes inversamente proporcionales, como el primer elemento se ha dividido entre sí mismo, el segundo deberá multiplicarse por este mismo factor.
4. Obtenida la relación proporcional de la unidad, se busca entonces establecer la relación deseada.
5.  Se expresa entonces el resultado obtenido.

Ejemplo de Reducción a la unidad de la Regla de tres simple inversa

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre el método de Reducción a la Unidad, para la solución de Problemas de Regla de tres simple inversa, sea exponer un ejemplo concreto, que permita ver cómo se debe actuar en cada uno de estos casos, tal como se puede ver a continuación:

Un carro avanza a una velocidad de 60 km / h, demorándose unas 5 horas en su recorrido. Si este mismo vehículo avanzara a una velocidad de 100 km / h, ¿cuánto tiempo invertiría en hacer el mismo camino?

Lo primero que se debe hacer es exponer la información que ha proporcionado el ejercicio:

Si a 60 km/h se demora 5 horas
A 100 km/h cuánto se demorará x

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo se está ante Magnitudes inversamente proporcionales, constituidas entre la velocidad y tiempo, en cuanto que si la velocidad aumenta o se multiplica por un factor específico, puede observarse entonces el mismo efecto, pero en sentido inverso, en la magnitud tiempo.

El siguiente paso, será llevar la primera relación entre magnitudes inversamente proporcionales a su Reducción a la unidad, lo cual se hará dividiendo la primera magnitud entre sí misma, y multiplicando la segunda por este mismo factor:

60 : 60 = 1
5 x 60 = 300

Se expresa entonces la relación de Magnitudes inversamente proporcionales que se ha determinado en cuanto a la unidad:

Si a 60 km/h se demora 5 horas
A 1 km/h se demorará 300 horas

Con esta información se podrá entonces conocer la relación que puede establecerse entre Magnitudes inversamente proporcionales, que tuvieran como primera magnitud la velocidad de 100 km/h. Para esto, será necesario multiplicar la unidad por cien. Siendo magnitudes inversamente proporcionales, como la primera se ha multiplicado por este factor, entonces la segunda debe dividirse entre él:

1 x 100 = 100
300 : 100 = 3

Se expresa entonces la relación de Magnitudes inversamente proporcionales que se ha encontrado:

A 1 km / h se demorará 300 horas
A 100 km/h se demorará 3 horas

Hecho esto, se puede expresar la respuesta del ejercicio:

Si el vehículo a  60 km/h se demora 300 horas
A 100 km/h se demorará 3 horas

Ejemplo 2

En una carpintería, 3 carpinteros necesitan 18 días para hacer un trabajo, ¿en cuántos días pueden hacer el mismo trabajo 14 carpinteros?

Acá también se puede inferir que se está frente a un caso de Magnitudes inversamente proporcionales, en tanto que a medida que aumentan los trabajadores, el tiempo para realizar la misma labor puede reducirse. Para resolver la incógnita planteada por el ejercicio, se comenzará por anotar la información que ha suministrado el problema:

Si 3 carpinteros necesitan 18 días
14 carpinteros cuántos x días necesitarán

Al haber escogido el método de la Reducción a la unidad para resolver este ejercicio, será entonces necesario determinar –en consonancia a la relación entre las magnitudes número de carpinteros y tiempo- cuánto tiempo se demora para hacer el trabajo un solo hombre. Para esto se deberá entonces proceder a tomar la primera unidad (número de carpinteros) de la magnitud completa, y dividirla entre sí misma. Por igual, se recordará que si la primera magnitud se divide por un factos, en vista de que son Magnitudes inversamente proporcionales, entonces la segunda se multiplica por el mismo factor:

3 : 3 = 1
18 x 3=  54

Es decir que 1 solo trabajador necesitaría 54 días para realizar el trabajo. Con este dato, se puede saber entonces cuántos días necesitarían 18 trabajadores, pues bastaría multiplicar la unidad por esta cantidad, al tiempo que se tomaría también el tiempo y se dividiría por la misma cantidad:

1 x 18 = 18
54 : 18 =  3

De esta manera, se tienen los siguientes resultados:

1 carpintero se tomaría 54 días para realizar el trabajo
3 carpinteros se demorarían 18 días para realizar el trabajo
18 carpinteros se demorarían 3 días en realizar la labor

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