Multiplicación de números enteros expresados mediante Notación científica

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que entonces resulte también prudente delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Números enteros, Multiplicación, Potenciación, Multiplicación de potencias y expresión de número enteros mediante potencias de base 10, por ser estos los elementos y operaciones directamente involucradas con el procedimiento consistente en hallar el producto de dos números enteros que han sido expresados por medio de la notación científica. A continuación, cada uno de ellos:

Números enteros

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elementos que pueden emplearse a la hora de dar expresión escrita a cantidades enteras o exactas. Así también, las Matemáticas se han encargado de señalar a los Números enteros como aquellos que constituyen el conjunto numérico Z, el cual a su vez incluye el conjunto de los números naturales.

Por igual, esta disciplina señala que dentro de los Números enteros podrán encontrarse tres distintos tipos de elementos, cada uno de los cuales ha sido explicado de la siguiente manera:

• Enteros positivos: en primer lugar, se encontrarán los enteros positivos, números que se considerarán a su vez como constituyentes de los Números naturales, al tiempo que serán empleados para expresar cantidades exactas o enteras específicas. Así también los enteros positivos se extenderán en la Recta numérica desde el cero y hasta el infinito, en dirección hacia la derecha. Estos números poseen un signo positivo, el cual sin embargo no siempre se anota, puesto que en algunos casos –por tradición- este signo se da por sentado.
• Enteros negativos: por otro lado, los Enteros negativos serán considerados los inversos de los números positivos. En consecuencia se ubicarán en la Recta numérica a la izquierda del cero, punto desde donde se extenderán hacia el infinito, en sentido contrario al cual se extienden los números enteros positivos. Así mismo, son empleados para expresar la deuda o ausencia de una cantidad entera específica. Poseen un signo negativo, el cual debe ser anotado en todo momento, a fin de diferenciar a los enteros negativos de sus inversos positivos.
• Cero: por último, el cero formará parte también de los Números enteros. Este elemento se ubicará en la mitad de la Recta numérica, en donde servirá como límite y a la vez como punto de partida, tanto a números enteros positivos como negativos. Sin embargo, el cero no poseerá ninguno de los dos signos pues no es considerado un número sino un elemento por medio del cual las Matemáticas expresan el concepto de falta plena de cantidad.

Multiplicación

Así mismo, será necesario lanzar luces sobre la definición que ha promulgado la Matemática sobre la Multiplicación, operación que será entendida, en líneas generales, como aquella dirigida a determinar cuál es el total que se obtiene toda vez que se sume un número, que cumple el papel de multiplicando, por sí mismo, tantas veces como indique un segundo número que hará las veces de multiplicador. Por ende, algunas fuentes han convenido en que la Multiplicación podrá ser entendida igualmente como una operación de suma abreviada. Sus elementos serán los siguientes:

Potenciación

Por otro lado, las Matemáticas han señalado igualmente el concepto de Potenciación, el cual será comprendido como el referente a toda operación que busque determinar cuál es el producto que se obtiene al multiplicar por sí mismo un número específico todas las veces que un segundo número señala. Por ende, la Potenciación podrá ser comprendida alternativamente como una multiplicación abreviada. En cuanto a la posición y tarea de cada uno de sus elementos, se tendrá lo siguiente:

• Base: será el número que deberá multiplicarse por sí mismo, todas las veces que señale el elemento al cual se encuentra elevado.
• Exponente: en segundo lugar, el Exponente será el elemento al cual se eleve la base, y el que le indique cuál es la cantidad de veces que debe multiplicarse por sí mismo.
• Potencia: será considerada el resultado de la operación, es decir, el producto de multiplicar la base por sí misma tantas veces como le indica el exponente.

Multiplicación de potencias

En consecuencia, la Multiplicación de potencias podrá ser entendida, a grandes rasgos, como aquella operación matemática que se lleva a cabo para determinar cuál es el producto que se obtiene entonces al multiplicar dos elementos que se encuentren elevados a la vez a sus respectivos exponentes. Sin embargo, esta operación solo es posible si las potencias que se multiplican coinciden en sus bases, o bien en cuanto a sus exponentes. Para cada caso se procederá de la siguiente forma:

Si tienen la misma base →     aⁿ . a^m = a^n+m

Si cuentan con el mismo exponente →    aⁿ . bⁿ = (a.b)ⁿ

Expresión de un número entero mediante Notación científica

Por último, será también necesario explicar en qué consiste el procedimiento conocido como notación científica o expresión de un número entero a través de una potencia de base 10, el cual será entendido entonces como una forma de abreviación, por medio de la que se puede expresar por escrito, de una forma mucho más sencilla, algunas cantidades de números enteros que resulten en extremo elevadas, es decir, que contengan varias cifras.

Este procedimiento es empleado sobre todo en campos científicos o técnicos, pues además de resultar bastante práctico, facilita las operaciones matemáticas entre diferentes números enteros de gran valor, y reduce el margen de error en la notación y registro de cifras o datos.

Así también, las Matemáticas han señalado que a la hora de expresar un número entero en forma de notación científica o como una potencia de base 10, entonces se deberá tener en cuenta esta fórmula general:

a . 10ⁿ

En donde a resultará un número entero, que en toda ocasión deberá resultar mayor o igual a uno (a≤1) y menor a diez (a<10). Igualmente, n debe ser un número entero, siempre positivo por tratarse de la abreviatura de números enteros.

Por igual, la disciplina matemática señala que siempre que se desee expresar un número entero como una potencia de base 10, se deberán seguir entonces los pasos que se muestran a continuación:  

1.- Se tomará la parte del número entero, distinto a cero, y se expresará como la parte entera que se multiplicará por la potencia de 10, al tiempo que se suprimirán los ceros que existen  a la derecha de este número. Sin embargo, se deberá considerar que si el número entero cuenta con más de una cifra, entonces se deberá expresar como decimal, a fin de que la parte entera, siendo mayor o igual a uno, no resulte mayor a diez.

2.- Determinado este número se multiplicará por una potencia de base 10, cuyo exponente será positivo, y resultará igual al número de ceros que han sido suprimidos del número entero, siempre y cuando este sea un número entero menor a 10. En caso de que el número haya tenido que ser expresado como un decimal, el exponente tomará en cuenta además de los ceros los números que han quedado expresados como unidades incompletas de el número que multiplica la potencia.

Algunos ejemplos serán:

300000 → 3 . 10⁵

69400 → 6,94 . 10⁴

Multiplicación de números enteros expresados Notación científica

Una vez que se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que se posea entonces un marco teórico necesario para entender exactamente cuál es el procedimiento que sucede toda vez que se establezca una multiplicación entre números enteros que han sido abreviados a través de su notación científica.

En este caso, básicamente se buscará entonces saber cuál es el producto de sumar por sí mismo un número entero específico, tantas veces como le indique un segundo número entero. Sin embargo, debido a la extensión que pueden presentar estas cifras, se opta por establecer la operación desde sus abreviaturas, las cuales teniendo potencias de base 10, entonces deberán realizarse por medio de las leyes establecidas para los casos en donde se desee multiplicar potencias de igual base.

En consecuencia, toda vez que se quiera realizar una operación de este tipo se deberán seguir los pasos que se enumeran a continuación:

1.- Una vez que se tengan las dos cifras de números enteros, expresadas a través de su notación científica, bien porque hayan sido entregadas de esta manera, o se hayan llevado hasta esta expresión, se deberá comenzar por agrupar sus miembros según su naturaleza. En consecuencia, se agruparán los números enteros que multiplican a las potencias de base diez, y por otro lado se agruparán las potencias de base diez con cada uno de sus exponentes.

2.- Acto seguido, se multiplican entonces los elementos que resultan iguales respecto a su naturaleza. Es decir, se multiplican los números enteros, y a su vez se multiplican las potencias de base diez, sumando entonces sus exponentes.

3.- Si el resultado de la multiplicación de números enteros ha arrojado un resultado que en su parte entera cuenta con un número mayor que uno y mayor que cero, volverá a convertirse a su expresión decimal. Con la nueva potencia obtenida, se deberá multiplicar nuevamente la potencia de diez obtenida de la multiplicación anterior. De esta manera se asume una sola base y se suman de nuevo los exponentes.

4.- Se considera esta como la respuesta final a la operación de multiplicación de números enteros expresados mediante potencias de base 10.

Ejemplo de multiplicación de enteros expresados a través de Notación científica

No obstante, puede que lo mejor, para completar eficientemente una explicación sobre este procedimiento sea revisar un ejemplo concreto que permita ver cómo se cumple en la práctica cada uno de los pasos señalados en la teoría. A continuación, el siguiente ejercicio:

Multiplicar los siguientes números enteros:  4500000 x  3000000000 =

Lo primero que deberá hacerse entonces es expresar cada uno de estos números de forma abreviada, es decir, a través de su notación científica:

4500000 →  4,5 . 10⁶

3000000000 → 3 . 10⁹

Acto seguido, se multiplicarán entonces los números abreviados obtenidos:

(4,5 . 10⁶) . (3 . 10⁹) =

Se buscará entonces agrupar los números según sus naturalezas, y resolver cada multiplicación que se establezca:

(4,5 . 3) . (10⁶ . 10⁹) =

13,5 . (10⁶⁺⁹) =

13,5 . 10¹⁵

Como el número entero que se ha obtenido representa un número que aunque es mayor que uno es también mayor que 10, se deberá volver a abreviar:

13,5 → 1,35 . 10¹

Esta potencia de base 10 deberá ser multiplicada por la que ya se ha obtenido. En consecuencia volverán a sumar sus exponentes:

(1,35 . 10¹) . 10¹⁵ = 1,35 . (10¹⁵⁺¹) = 1,35 . 10¹⁶

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