Aplicación biyectiva

Entre los tres distintos tipos de aplicaciones o funciones que existen entre conjuntos, se encuentra la Aplicación biyectiva. No obstante, previo a avanzar en una explicación sobre ella, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta clase de función o aplicación, dentro de su justo contexto matemático.


Definiciones fundamentales

De esta manera, se decidirá igualmente delimitar esta explicación teórica a tres nociones específicas: Conjuntos, Correspondencia entre conjuntos y Aplicaciones, por encontrarse estos conceptos directamente relacionados con la aplicación que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjuntos

Por consiguiente, podrá comenzarse por decir que los Conjuntos han sido explicados por las distintas fuentes como un objeto matemático, compuesto por un grupo de elementos, que pertenecen a la misma naturaleza. Por ende, las Matemáticas también han explicado los Conjuntos como colecciones abstractas de elementos homogéneos.

Por otro lado, también será importante señalar que las Matemáticas consideran que los conjuntos se caracterizan por contar con elementos, que presentan la capacidad de determinarlos de forma única y exclusiva. Con respecto a la forma de expresar conjuntos, la disciplina matemática señala que estos deberá nombrarse siempre por medio de una letra mayúscula, al tiempo que sus elementos se presentarán enumerados, separados por comas y siempre comprendidos entre signos de llaves: {}.

Correspondencia

En segunda instancia, también será necesario tomar un momento para revisar el concepto de Correspondencia, el cual ha sido explicado como la relación matemática que ocurre entre dos conjuntos, cuando algunos o todos los elementos del conjunto A encuentran correspondencia con alguno o todos los elementos del conjunto B. Por lo general, esta relación entre elementos genera pares de correspondencia, los cuales a su vez genera un conjunto que se denomina Grafo. Un ejemplo de este tipo de relación sería el siguiente:

Por igual, los conjuntos relacionados en la relación de correspondencia cuentan cada uno con su propia definición, la cual ha sido explicada de esta forma:

  • Conjunto inicial: conocido también como conjunto de partida, puesto que de él nacen las flechas que señalan la correspondencia. Así mismo, los elementos que conforman esta colección reciben el nombre de originales o antiimagen, al tiempo que cumplen con la tarea de fungir como el primer elemento del par de correspondencia.
  • Conjunto final: por su parte, este conjunto –conocido también como conjunto de llegada- se caracteriza por ser la colección en donde desembocan las flechas que cumplen con la tarea de señalar la correspondencia. Los elementos de esta colección reciben el nombre de imagen, mientras que ocupan el segundo término en el par de correspondencia.

Aplicación

Por último, también será necesario tomar un momento para explicar el concepto de Aplicación, la cual es entendida entonces como una relación de correspondencia, que ocurre entre dos conjuntos en donde cada elemento del conjunto inicial cuenta con solo una imagen en el conjunto final. La aplicación es conocida también, en términos matemáticos, como Función. Un ejemplo de este tipo de correspondencia sería el siguiente:

Aplicación biyectiva

Una vez se han revisado estos conceptos puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a un concepto de Aplicación biyectiva, la cual puede ser también denominada como una aplicación o función biyectiva, y que es descrita como una aplicación que en al mismo tiempo inyectiva y exhaustiva.

En este orden de ideas, siendo entonces una aplicación tanto inyectiva como exhaustiva, en la Aplicación biyectiva se verá cómo cada elemento del conjunto original cuenta con una sola imagen en el conjunto final, al tiempo que todos y cada uno de los elementos del conjunto final sirve de imagen una sola vez a un conjunto de la primera colección. Un ejemplo de este tipo de función o aplicación será la siguiente:

Imagen: pixabay.com

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Aplicación biyectiva

Bibliografía ►



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