Quizás lo mejor, antes de abordar la definición de polinomio completo, sea revisar la definición de polinomio, y también de cada uno de sus elementos, pues de seguro esto permitirá comprender mucho más la naturaleza de esta expresión algebraica.
Definición de Polinomio
Por consiguiente, según las distintas fuentes de Álgebra elemental definen el Polinomio como una suma finita de términos algebraicos –llamados también monomios- los cuales deben contar con la principal característica de tener exponentes positivos y enteros. Igualmente, a pesar de que la definición de polinomio plantea la suma de monomios, el álgebra también acepta las operaciones de sustracción y multiplicación, siendo entonces la división la única no admisible.
Así también, cada uno de los términos que componen el polinomio, es decir, los monomios, están a su vez conformados básicamente por cuatro elementos, tal como se muestra en la siguiente gráfica:
Elementos estos que cuentan también con su propia definición y propósito. En este sentido, el signo, que puede ser tanto positivo (+) y negativo (-) cumple con la función de señalar la naturaleza del coeficiente. Igualmente, el coeficiente está constituido por la parte numérica del término, la cual indica cuál es la cantidad por la que debe multiplicarse la variable en el momento en que se decida un valor numérico. Por su parte, la variable o indeterminada, llamada también el literal del término, está constituido por letras, que vienen a representar una cantidad que todavía no se conoce, o está por conocerse. Finalmente, el exponente al que se encuentra elevado dicho literal o variable, determinará por un lado si la expresión es un polinomio o no, pues para serlo todos los exponentes deberán ser positivos y enteros, de igual forma, también determinará el grado del término, así como si este se trata de un polinomio completo o no.
Polinomio completo
Así mismo, entre los distintos tipos de polinomios, se conoce con el nombre de Polinomio completo a aquella expresión algebraica que una vez organizada, según sus distintos grados, conforman una secuencia completa, desde el mayor hasta el menor, en donde no existe ningún vacío, tal como el ejemplo que se muestra a continuación:
P(x) = 8x4 + x3 + 2x2 + x + 5
Al estudiarlo, se puede observar cómo al estar ordenado, según sus distintos grados, se ve una secuencia ininterrumpida, desde el cuarto grado hasta el grado uno, por lo que además de poder declarar que se trata de un polinomio de cuarto grado, se trata también de un polinomio completo.
Ejemplos de polinomios completos
Sin embargo, no siempre los polinomios se presentan de forma ordenada, o con una sola variable, por lo que se deben realizar otros tipos de operaciones, antes de lograr comprobar si se está en presencia o no de un polinomio completo. En este sentido, los casos más comunes son los que se muestran a continuación:
Polinomios desordenados
El caso más común ocurre cuando, a pesar de contar con términos de una sola variable, el polinomio se encuentra desordenado, lo cual impide que pueda verse de forma rápida si existe una sucesión o no de sus grados, por lo que se debe proceder a ordenar el polinomio. Un ejemplo de esto puede ser el siguiente polinomio:
P(x) = x + 5x2 + 4x4 + 5x3 + 5
Para confirmar o no si se trata de un polinomio completo, lo más recomendable es realizar un ordenamiento descendente, que parta desde el mayor grado observado, en este caso, el cuarto grado:
P(x) = 4x4 + 5x3 + 5x2 + x + 5
Hecho esto, se puede ver cómo en este polinomio existe una secuencia ininterrumpida de grados, que va desde el cuarto hasta el primero, pudiendo ser identificado entonces como un polinomio completo.
Polinomios con más de una variable
Así mismo, puede ocurrir también que el polinomio dado no sólo aparezca desordenado, sino que cuente con monomios de varias variables, que no permitan que sus respectivos grados sean fácilmente determinados, sin que se deba realizar una suma de sus exponentes, antes de proceder entonces a ordenarlo y corroborar el tipo de polinomio que constituye. Para ejemplificar este tipo de casos, se puede usar el siguiente ejemplo.
Dado el polinomio que se presenta a continuación:
P(x) = 8x – 4xy2 – 3x3yz – x4 – x- 4
Lo primero que se deberá hacer es determinar cuáles son los grados de cada uno de los términos, sobre todo de aquellos que presentan más de una variable:
4xy2 = 1+2= 3
3x3yz = 3+1+1= 5
Determinado el término con el mayor grado, así como los de cada uno de sus términos, se debe proceder entonces a ordenar la expresión algebraica, de forma descendente:
P(x) = – 3x3yz – x4 – 4xy2 – 8x2 – x- 4
Al hacerlo, se puede notar cómo los grados de cada uno de los términos serán respectivamente: 5, 4, 3, 2 y 1; los cuales forman entonces una secuencia numérica que no presenta interrupciones, por lo que este polinomio, además de poder identificarse como un polinomio de grado cinco, o quíntico, es también un polinomio completo.
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