Definición de Polinomio

En este sentido, el Álgebra elemental define al Polinomio como una suma finita de monomios, los cuales a su vez deben contar con variables cuyos exponentes puedan ser identificados en su totalidad como números enteros positivos. Así mismo, a pesar de que la propia definición de polinomio plantea la suma de monomios, el Álgebra también admite operaciones de resta y multiplicación entre estos términos algebraicos, quedando prohibida solamente la de división.

Elementos del polinomio

Con respecto a los elementos que conforman el polinomio, se puede decir entonces que esta expresión algebraica está compuesta por un número finito de monomios, los cuales a su vez cuentan con cuatro elementos, tal como se muestra en la imagen que se presenta a continuación:

Al respecto, de los elementos que conforman el monomio, núcleo central de polinomio, el Álgebra también ha indicado una definición y un propósito para cada uno de ellos, las cuales pueden resumirse de la siguiente forma:

• Signo: es el primer elemento que puede observarse de izquierda a derecha, en un monomio. Este además puede ser tanto positivo (+) como negativo (-) entendiéndose que cuando no aparezca anotado explícitamente se tomará como positivo. Su función primordial es la de señalar la naturaleza del coeficiente.
• Coeficiente: por su parte, este elementos estará constituido siempre por una entidad numérica conocida y determinada, la cual puede ser positiva o negativa, y cuya principal misión es señalar la cantidad por la que debe ser multiplicada la variable, en caso de adquirir un valor numérico en algún momento.
• Variable: igualmente, la variable es un elemento del monomio que estará constituida en todo momento por un elemento literal, es decir, una letra que estará en representación de un número que no se conoce o está por conocerse. Así mismo, la variable puede ser sustituida en cualquier momento por un valor numérico determinado.
• Grado: finalmente, el grado del monomio estará determinado por el exponente al que está elevada la variable, o en caso de que exista más de una variable, por la suma de los exponentes de cada una de ellas, entendiendo que en caso de que una variable no cuente con la anotación explícita de su exponente este será la unidad. De igual forma, el grado del monomio, determina también el grado del polinomio, el cual será siempre el mayor exponente que se presente en el grupo de monomios que lo conformen, y que además de indicar el grado de polinomio, puede también indicar qué tipo de polinomio es.

Sin embargo, el Álgebra elemental también señala como parte de los polinomios a cuatro elementos fundamentales, cada uno de los cuales pueden ser definidos de la siguiente manera:

• Términos: forma en que se denomina cada uno de los sumandos del polinomio, independientemente si se encuentra con presencia de variable o no.
• Términos independientes: aquellos números que no están acompañados de ninguna variable.
• Coeficientes: elementos numéricos que acompañan a la variable, indicando cuál es la cantidad por la que debe multiplicarse en caso de asumir un valor numérico.
• Grado: por último, el grado de un polinomio resulta equivalente al valor del mayor grado que pueda determinarse en los monomios que constituyen el polinomio. Su función es servir de elemento guía en algunas operaciones algebraicas como el ordenamiento de polinomios.

Polinomios semejantes

Por otra parte, no existe una sola clase o tipo de polinomios, sino que estos pueden ser clasificados según su grado, el orden de sus monomios o la semejanza entre sus elementos. En esta última situación cabe la definición de Polinomios semejantes, los cuales están concebidos como aquellos polinomios, que aun cuando cuentan con diferentes coeficientes y términos independientes distintitos, la coincidencia entre sus variables y grados, hace que si bien no pueden ser considerados polinomios iguales, al menos sean tenidos como polinomios semejantes.

Ejemplos de Polinomios semejantes

Un ejemplo de Polinomios semejantes lo pueden constituir las siguientes expresiones algebraicas:

P(xy) = 3x⁵y⁴ + x + x³y² + 3x² + 4
Q (xy) = 5x⁵y⁴ + 2x + 8x²+ 5 + 3x³y²

Estos polinomios se encuentran evidentemente desordenados, por lo que resulta mucho más difícil ver si entre cada uno de sus elementos existe o no una relación de semejanza. Por ende, el primer paso que debe seguirse es la de ordenar los polinomios. En vista de que cada uno de ellos cuenta a su vez con dos variables, se decidirá que la letra ordenatirz (la variable en base a la que se realizará el ordenamiento  de cada polinomio) será la variable x, disponiéndose ambos de forma descendente:

P(xy) = 3x⁵y⁴  + x³y² + 3x² +  x +  4

Q (xy) = 5x⁵y⁴ + 3x³y² + 8x² + 2x + 5

Una vez ordenados los polinomios, de forma descendente y guiados por la ordenatriz (x) se puede observar cómo, a pesar de contar con coeficientes y términos independientes distintos, cada uno de las variables y grados coinciden entre sí, por lo que se puede decir que estos dos polinomios son semejantes. Afirmación esta que se puede comprobar incluso si de decidiera un ordenamiento totalmente opuesto, como por ejemplo la de disponer los elementos de los polinomios de forma ascendente, siendo la letra ordenatriz la y:

P(xy) = x³y² + 3x⁵y⁴  +  x  + 3x² +  4

Q (xy) = 3x³y² + 5x⁵y⁴ + 2x  +  8x² + 5

Lo cual pondría nuevamente en evidencia cómo las variables y grados de cada uno de los elementos coinciden entre sí, a pesar de las diferencias entre coeficientes y términos independientes, por lo que se estaría hablando de polinomios semejantes.

^{Imagen: flickr.com}