Problemas con números enteros

Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez sea también conveniente delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: la primera de ellas, la definición misma de Números enteros, pues esto permitirá cobrar conciencia sobre la naturaleza de los elementos sobre los cuales se realizarán cada uno de los ejercicios. Así también, será necesario recordar los conceptos de Suma, Resta, Multiplicación, División y Problemas matemáticos, por ser estas las operaciones y procedimientos directamente involucrados. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Los números enteros

De esta forma, se comenzará entonces por decir que las Matemáticas han definido los Números enteros como aquellos elemento numéricos por medio de los cuales se puede dar expresión escrita a cantidades exactas específicas, o incluso también a la falta o deuda de ellas. Por otro lado, los Números enteros han sido explicados como los elementos en base a los cuales se constituye el conjunto numérico Z, colección en donde se asume que existen tres distintos tipos de números enteros, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

• Números enteros positivos: en primer lugar, dentro de los Números enteros se encontrarán los enteros positivos, elementos que a su vez son identificados como los números constituyentes de los Números naturales. Por ende, se considera que la tarea de estos elementos es lograr la expresión escrita de las cantidades exactas, así como la de contar los elementos de un conjunto, o darle un orden o posición específica. Los números enteros positivos son ubicados en la Recta numérica a la derecha del cero, desde donde se extienden hacia el infinito. Cuenta con un signo positivo, el cual en ocasiones no es necesario anota, pues se da por sobre entendido.
• Números enteros negativos: por otra parte, dentro de este conjunto numérico, también se encuentran los enteros negativos, elementos que son tenidos como los inversos de los enteros positivos, de ahí que sean anotados en la Recta numérica a la izquierda del cero, punto desde donde se extiende, en sentido contrario a los números positivos. Así mismo, estos números cuentan con signo negativo, el cual deberá ser anotado siempre al lado del número para diferenciarlo entonces de su opuesto positivo. La tarea de estos números será la de dar cuenta de la ausencia de cantidades exactas específicas.
• Cero: finalmente, dentro de los Números enteros, también se contará el cero, elemento que será anotado en la mitad de la Recta numérica, sirviendo de límite y a la vez de punto de origen a los enteros positivos y a los enteros negativos. Sin embargo, el cero no contará con ninguno de estos dos signos, puesto que él mismo no es un número, sino un símbolo o elemento por medio del cual se logra expresar la ausencia plena de cantidad.

Suma

En segunda instancia, será también pertinente revisar el concepto de Suma, operación matemática que es entendida de forma general como el procedimiento dirigido a combinar los valores de dos o más números, a fin de obtener un total. En el caso de los números enteros se deberá tomar en cuenta los signos de los números involucrados, tomando en cuenta que siempre se sumarán los números enteros de igual signo, mientras que los números enteros de diferentes signos se deberán restar

Resta

Así también, se deberá prestar atención a la definición de Resta, procedimiento que ha sido explicado por la mayoría de los autores como un operación matemática destinada a suprimir en un número que cumple las veces de minuendo la cantidad específica señalada por un segundo número, el cual hace el papel de sustraendo, con el fin de conseguir cuál es la diferencia que existen entre ellos. En esta operación, se tomarán en cuenta igualmente los signos de los números enteros involucrados, así como lo que dice la Ley de signos respecto a ellos.

Multiplicación

En cuanto a la Multiplicación, las distintas fuentes han explicado esta operación como el procedimiento por medio del cual se busca establecer cuál es el producto que resulta toda vez que se sume por sí mismo un número específico, que cumple con el papel de Multiplicador, tantas veces como sea señalado por un segundo número que se desempeña como Multiplicando. En este sentido, los diferentes autores han indicado que la Multiplicación es una suma abreviada.

División

Respecto a la definición de División será también necesario tomarla en cuenta. Para esto se dirá entonces que las diferentes fuentes matemáticas ven a esta operación como el procedimiento dirigido a establecer cuántas veces se encuentra contenido un número específico, identificado como el divisor, dentro de un número que recibe el nombre de Dividendo, a fin de encontrar entonces cuál es el cociente. Algunos autores refieren que la División puede ser vista también como una operación inversa a la multiplicación.

Problema matemático

Finalmente, se traerá también a capítulo la definición de Problema matemático, el cual deberá ser comprendido como el planteamiento de una incógnita, que debe entonces resolverse a fin de encontrar la entidad matemática que le sirve de respuesta. En consecuencia, la resolución de un problema parte de tomar en consideración algunos datos específicos, cuya relación guarda la incógnita a encontrar. Así mismo, se deben realizar una serie de pasos específicos, es decir, seguir un método preciso.

Problemas con números enteros

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que entonces sea mucho más sencillo abordar cada uno de los problemas matemáticos que se presentan a continuación, así como sus respectivas soluciones. A continuación, los siguientes problemas:

Problema 1

En una tarde de verano, María se da cuenta de que la temperatura se encuentra a 39 ºC, por lo que decide prender el aire acondicionado, deseando tener una temperatura de 18 ºC. Ella sabe que el sistema de aire logra bajar la temperatura 2º C cada 10 minutos. ¿Cuánto tiempo deberá esperar María para alcanzar dentro de su casa la temperatura correcta?

Para dar solución a este problema, se comenzará por anotar los datos proporcionados en su planteamiento:

Temperatura inicial: 39 ºC
Temperatura final: 18 ºC
Rango de descenso de la temperatura: 2º C cada 10 minutos

En segundo lugar, se deberá calcular entonces cuál es la cantidad de grados que María desea que baje la temperatura de su casa, por lo que se hará entonces una resta, entre la temperatura inicial y la final:

39 – 18 = 21

Es decir, que María desea que en su casa la temperatura experimente un descenso de 21 grados. En segundo lugar, el problema también indica que el aire acondicionado logra bajar la temperatura 2 grados cada 10 minutos, es decir, que para saber cuánto lo hace en 1 minuto, se deberá aplicar una simple regla de tres:

2  – 10 =  1. 10 : 2 = 5
1 –   x

Se obtiene entonces que cada 5 minutos baja 1 º C. Si entonces la temperatura baja solo un grado cada cinco minutos, para saber cuánto tiempo tardará en bajar 21 grados, se deberá multiplicar esta temperatura por este tiempo:

5 x 21 = 105

Se calcula entonces que se necesitarán 105 minutos para alcanzar la temperatura deseada. Sin embargo, para expresar esta cantidad de forma más clara, lo mejor será restar a 105 minutos 60, que es el equivalente a una hora, la diferencia serán los minutos que acompañen a la hora:

105 – 60 = 45   Es decir que María deberá esperar 1: 45 minutos para que la temperatura descienda al punto que ella desea.

Problema 2

En la ciudad de Caracas a las 4:00 pm hacía una temperatura de 28 ºC. Para las 2:00 am la temperatura había descendido 10 ºC. ¿Cuál era la temperatura que se registraba en la ciudad de Caracas a las 2:00 am.

Igualmente, para solucionar este problema, se comenzará por analizar los datos que el propio ejercicio proporciona:

A las 4:00 pm la temperatura era de 28ºC
A las 2:00 am había descendido 10ºC

Es decir, que había bajado diez grados (-10 ºC). Por lo que al momento de dar solución a este problema se deberá realizar una operación de resta:

28 -10= 18

Por ende, se puede concluir que a las 2:00 am, luego de que la temperatura hubo bajado 10ºC, la Temperatura en la ciudad de Caracas era de 18ºC.

Problema 3

Juan juega todos los días a la lotería, eta semana ha ganado y perdido. El lunes Juan perdió 200 pesos; el martes gano 500; el miércoles perdió 250; el jueves perdió 300; el viernes gano 12000 pesos; el sábado perdió 500 y el domingo ganó 200. ¿Cuántos pesos le quedaron a Juan al final de la semana?

Para dar respuesta a este problema, lo mejor será plantear una operación aritmética entre estos números enteros, recordando que las ganancias serán siempre números positivos, mientras que las pérdidas serán números negativos. Por ende, se anotarán según el orden dado por el problema, y se resolverán la operación tomando en cuenta la Ley de signos: sumo los números de igual signo, resto los números de diferentes signos:

+200 + 500 – 250 – 300 + 12000 – 500 + 200 =

Números positivos: +200 + 500 + 12000 + 200 = +12900
Números negativos: -250 – 300 – 500 = -1050

Respuesta final: 12900 – 1050 = 11850

De esta manera se concluye, que pese a las pérdidas, Juan pudo obtener en la lotería, a lo largo de la semana, un total de 11850 pesos.

Problema 4

Una mamá llega donde sus cuatro hijos con una pizza de ocho porciones. Cada uno de los niños comienza a competir para tomar la mayor cantidad de pizza. Sin embargo, mamá les advierte que le debe tocar a cada uno la misma cantidad de porciones. ¿Cuántas porciones de pizza le corresponde a cada niño?

Al momento de resolver este problema será necesario analizar los datos que ha proporcionado el problema:

4 hijos
8 porciones de pizza.

Una vez que se hace, se concluye entonces que se trata de un problema de división. Para esto se tomará el número mayor, correspondientes a las porciones de pizza, y se dividirán entre cada hijo:

8 : 4= 2

Por ende, se concluye que a cada niño le corresponde de manera exacta solo dos porciones de pizza, a fin de que la repartición sea equitativa.

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