Propiedad del Elemento neutro en la Unión de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, quizás lo más recomendable sea traer a capítulo tres definiciones fundamentales: en primera instancia, el propio concepto de Conjunto, a fin de tener claro la naturaleza del objeto en base al cual se produce la operación a la que esta Propiedad resulta inherente. Así mismo, surge como necesario revisar la definición que da el Álgebra de Conjuntos sobre la operación de Unión de Conjuntos, por ser esta en donde sucede dicha propiedad. Por último, también es necesario revisar la definición de Conjunto Vacío, pues es éste el que hace las veces de elemento neutro en el Álgebra de conjuntos. A continuación, los distintos conceptos:

Conjunto

Por consiguiente, se puede comenzar por decir que el Conjunto es concebido por las Matemáticas, como un objeto que se encuentra constituido, de forma única y exclusiva, por una colección de elementos, entre los cuales se distingue un rasgo en común, es decir, que todos responden a la misma naturaleza, por lo que pueden ser arropados bajo el mismo criterio de agrupación. En cuanto a su notación, las distintas disciplinas matemáticas coinciden en señalar tres aspectos esenciales: el conjunto será nombrado según una letra del alfabeto, usada en mayúscula; los elementos que lo conforman serán presentados como una lista, separados por comas; así mismo, se señala que esta lista de elementos deberá estar comprendida entre dos signos de llave: { }.

Unión de conjuntos

Por su parte, el Álgebra de Conjuntos ha señalado que la Unión puede ser entendida como una operación básica, en donde dos o más conjuntos se unen, a fin de forman otro conjunto, cuyos elementos serán todos y cada uno de los conjuntos que podían contarse originalmente en los conjuntos que han participado de la operación. En caso de que existan elementos comunes a los conjuntos que se han unido, se nombrarán una sola vez en el conjunto que ha resultado de la unión. Con respecto a su notación, esta disciplina matemática indica que el signo de Unión es ∪, mientras que su expresión matemática puede considerarse bajo la siguiente forma:

A ∪ B ∪ C = │A│ + │B│ + │C│

Conjunto vacío

Finalmente, es importante fijar la atención en la definición de Conjunto vacío, el cual puede ser entendido como aquel conjunto en donde no puede encontrarse presencia alguna de elementos, es decir, el conjunto que no tiene elementos dentro de él. La notación de este conjunto se hace por lo general con el símbolo ∅, aunque algunas corrientes matemáticas también se decantan por el símbolo de las llaves { } usadas simplemente una frente a otra, sin que entre ellas se pueda ver contenido alguno.

Elemento neutro en la Unión de conjuntos

Teniendo presentes estas definiciones, será mucho más sencillo comprender el concepto de Elemento Neutro en la Unión de Conjuntos, el cual estará constituido por el Conjunto Vacío, elemento que es tomado por el Álgebra de Conjuntos como equivalente a cero (0) en las distintas operaciones que plantea esta disciplina matemática. Con respecto específicamente a cómo funciona la Propiedad del Elemento Neutro en la operación de Unión de Conjuntos, las distintas fuentes teóricas apuntan que esta se entiende como que dado un conjunto A, en el momento en que éste establezca una operación de Unión con el Elemento Neutro, es decir con el Conjunto Vacío, el resultado de esta operación será igualmente el propio conjunto A, es decir que el conjunto no sufrirá ningún tipo de modificación al establecer una operación de unión con el Elemento neutro (el Conjunto vacío). Esta propiedad puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

A ∪ ∅ = A

Ejemplo de Elemento Neutro en la Unión de conjuntos

No obstante, quizás la forma más eficiente de lograr ver en la práctica lo que apunta la teoría sobre esta Propiedad matemática inherente a la Unión de Conjuntos, sea con la exposición de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, conformado por colores fríos:  A = {Azul, Morado, Verde, Azul violeta, Azul verde} someterlo a la operación de Unión de conjuntos con el Conjunto Vacío.

Para dar cumplimiento al postulado de este ejercicio, será necesario en primer lugar expresar la operación que en este se exigen:

A ∪ ∅ =
{Azul, Morado, Verde, Azul violeta, Azul verde} ∪ ∅ =

Al no haber ningún elemento en el Conjunto Vacío, el conjunto que se generaría de esta operación de Unión sería totalmente igual al conjunto A:

A ∪ ∅ = A

{Azul, Morado, Verde, Azul violeta, Azul verde} ∪ ∅ = {Azul, Morado, Verde, Azul violeta, Azul verde}

Por ende se podría decir que, tal como indica la propiedad del Elemento Neutro en la Unión de Conjuntos, al unir un conjunto determinado con el Conjunto Vacío, el resultado de esta operación sería el mismo conjunto:

A ∪ ∅ = A

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