Propiedades del incentro de un triángulo

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también sea positivo delimitar esta revisión teórica a ocho definiciones específicas: la primera de ellas, la propia noción de Geometría, pues esto permitirá cobrar conciencia de la disciplina en medio de la cual surge el concepto de Incentro. Así mismo, será de provecho pasar revista sobre las nociones de Recta, Rectas secantes y Semirrectas, Ángulos, Triángulos, Bisectrices de un triángulo, Circunferencia e Incentro, por encontrarse directamente relacionadas con las Propiedades que se estudiarán posteriormente:

Geometría

De esta manera, se comenzará por decir que la Geometría puede ser entendida de forma general como una de las principales disciplinas de las Matemáticas. Por igual, los distintos autores coincidirán en señalar que la Geometría puede ser explicada como la materia que se encarga de estudiar las distintas figuras, así como cada una de las propiedades de estas (altura, volumen, área, etc.).

Así también, existen fuentes que señalan que la Geometría ha de ser asumida como una de las disciplinas matemáticas más antiguas, y que debió surgir en el seno de la civilización humana, en la remota época en que el hombre primitivo se afanaba por entender, medir, transformar o replicar las distintas formas de su entorno, con el propósito de garantizarse la sobreviviencia, a través de armas y espacios de hábitat, cada vez más eficientes. Desde ahí, la Geometría es entendida como la Ciencia de las medidas, por su interés en medir las distintas formas.

Recta

En segunda instancia, también será importante reparar en el concepto de Recta, la cual es entendida como una figura geométrica unidimensional, es decir, que solo cuenta con una dimensión. Igualmente, la Geometría ha definido la Recta como una sucesión infinita de puntos, los cuales han de contar con la misma dirección, lo cual sin embargo, no hace que la Recta tenga siempre una sola dirección, pues en realidad esta figura geométrica puede tener dos distintos sentidos, según la lectura que de ella se haga.

Sin embargo, estas no serán las únicas características de la Recta, la cual también se distinguirá por los siguientes rasgos:

• Puede ser considerada como la distancia más corta entre dos puntos, así como la única figura geométrica capaz de pasar a través de ellos, acción que podrá cometer una sola vez por vez.
• También, la Recta –al ser una sucesión infinita de puntos- contará con la característica de ser infinita, es decir, que no tendrá ni principio ni fin.
• Por último, la Recta siempre se encontrará representada por una letra minúscula.

Rectas secantes y Semirrectas

No obstante, las Rectas podrán definirse también en función de sus interrelaciones con otras similares. Un ejemplo de esto lo constituyen las Rectas secantes, las cuales son vistas como aquellas líneas rectas no perpendiculares, que se cortan o intersectan en un punto determinado. Al hacerlo, las Rectas secantes dan origen a otras entidades geométricas.

Una de estas entidades son las Semirrectas, las cuales pueden ser definidas como aquellas figuras geométricas que surgen de las Rectas secantes. Por ende, las Semirrectas serán también constituidas por una sucesión infinita de puntos, que cuentan con la misma dirección, tal como la Recta, pero que a diferencia de ella, contará con un solo sentido. Además, las Semirrectas contarán con un punto de inicio, así como con su respectiva Semirrecta opuesta, con la cual comparte este punto de génesis, aun cuando cada una se extiende hacia sentidos diferentes.

Ángulos

No obstante, en el momento en que dos Semirrectas secantes se intersectan, no solo dan lugar a las Semirrectas y Semirrectas opuestas respectivas, sino que estas nuevas figuras geométricas, es decir, las Semirrectas, comienzan a delimitar un espacio geométrico preciso, el cual llevara el nombre de Ángulo, y contará con los siguientes elementos:

• En primer lugar, contará con dos lados, los cuales estarán constituidos por las Semirrectas que lo delimitan.
• Así mismo, este espacio geométrico tendrá un vértice, punto este que coincidirá plenamente con el punto de origen de la Semirrecta.
• Por último, el ángulo también tendrá su propia amplitud, medida que será expresada en grados sexagesimales.

Triángulos

Por otro lado, también será necesario revisar el concepto de Triángulos, los cuales han de ser descritos como aquellos Polígonos, es decir, figuras geométricas planas y bidimensionales, las cuales se caracterizan por encontrarse totalmente cerradas, o en otras palabras delimitadas, por tres lados. No obstante, estas no son las únicas características que poseen los Triángulos, los cuales además se distinguirán por los siguientes rasgos:

• Tres lados: tal como el resto de los Polígonos, los Triángulos se caracterizarán por contar con lados constituidos por segmentos de recta, lo que hace a su vez que los lados que lo conforman, sean totalmente rectos. Ergo, el Triángulo es un polígono de tres lados rectos.
• Tres vértices: por igual, al ser una figura cerrada, los lados que constituyen al triángulo se unen entre sí, originando tres distintos puntos de confluencia o encuentro, los cuales se denominan vértices.
• Tres ángulos: así también, los Triángulos contarán con tres ángulos, los cuales estarán delimitados por dos lados del triángulo, sus vértices coincidirán con los vértices de cada uno de los vértices del triángulo.
• Sin diagonales: finalmente, al tener todos sus vértices consecutivos, en el triángulo no podrán distinguirse diagonales, es decir, que esta figura geométrica será el único polígono en donde no se encuentren diagonales.

Bisectrices de un triángulo

Con respecto a las Bisectrices que pueden encontrarse en los triángulos, puede que la mejor manera de abordarla sea revisando el propio concepto de Bisectriz, el cual ha de ser entendido como la Semirrecta que se extiende a lo largo de todo el punto medio de un ángulo, partiendo desde su vértice.

Entendido esto, al momento de pensar en las Bisectrices de los triángulos, se verá que como este polígono está compuesto –entre otros elementos- por tres vértices, entonces cada uno puede tener su propia bisectriz. Ergo, los Triángulos cuentan con tres Bisectrices, las cuales nacen desde cada uno de sus vértices, extendiéndose hasta el lado opuesto al vértice de donde surge.

Circunferencia

De igual forma, antes de abordar una explicación sobre el Incentro, será recomendable tomar en cuenta el concepto de Circunferencia, el cual es entendido entonces como la línea plana, curva y cerrada, la cual se extiende alrededor de un centro, elemento este que también contará con la característica de encontrarse a una distancia equidistante de todos y cada uno de los puntos que conforman la Circunferencia.

Por igual, las distintas fuentes han señalado la importancia de no confundir en ningún momento el concepto de Circunferencia con el de Círculo, puesto que aun cuando se encuentran relacionados, en realidad serán entes geométricos diferentes. En consecuencia, mientras la Circunferencia será entendida entonces como una línea curva, plana y cerrada, que se dispone alrededor de un centro, el Círculo será el espacio geométrico que quede delimitado por este centro. Así mismo, será necesario entender que estos dos conceptos también se diferencian de la Esfera, cuyo principal rasgo diferenciador es contar con tres dimensiones.

Incentro

Explicado esto, se podrá avanzar entonces sobre la definición de Incentro, ente geométrico, cuyas propiedades se estudiarán posteriormente. De esta manera, siempre que se tenga un Triángulo, y debido a que este polígono cuenta con tres distintos vértices, también existirán tres diferentes Bisectrices, las cuales nacerán en cada uno de los vértices y se dirigirán hacia el lado del triángulo que se le opone al vértice de donde se origina.

Sin embargo, estas Bisectrices no solo se nacen del vértice y tocan el lado opuesto, sino que al seguir su trayectoria, coinciden y se intersectan entre ellas. El punto en común, en donde confluyen las Bisectrices de un Triángulo, se conoce con el nombre de Incentro.

Propiedades del Incentro

Una vez revisadas todas y cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre las diferentes propiedades, con las que cuenta este ente geométrico, y que pueden ser resumidas en las siguientes:

• Una vez que se han trazado todas las Bisectrices del Triángulo, y se ha determinado cuál es el Incentro, se podrá tomar entonces un compás, y apoyándolo en el Incentro, y con una amplitud que tome hasta cada una de los puntos en que las bisectrices tocan el lado opuesto al vértice del cual nacen, se podrá trazar una circunferencia, que quede totalmente inscrita en el triángulo. El Incentro además tendrá la propiedad de ser el centro de esta circunferencia.
• Así mismo, el Incentro del triángulo contará con la característica de ser totalmente equidistante de los lados respectivos del triángulo, lo cual será una de sus propiedades, cualidad que puede comprobarse trazando también las perpendiculares de los lados o mediatrices, las cuales deberán tener las mismas medidas, desde los lados hasta el Incentro.
• Por último, la Circunferencia inscrita en el triángulo, que tenga como centro el Incentro, se caracterizará a su vez por pasar en algún momento sobre los puntos de los lados del triángulo a donde llegan las bisectrices del polígono.

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