Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que lo mejor sea delimitar esta revisión teórica a cinco nociones: Razones, Proporciones, Magnitudes, Magnitudes directamente proporcionales, Magnitud proporcional a otras varias, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento de Regla de tres compuesta directa, que se estudiará posteriormente. A continuación cada una de estas definiciones:

Razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Matemáticas han descrito las Razones como un tipo de expresión que da cuenta del cociente existente entre dos números, es decir, de cuántas veces se encuentra contenido el Divisor dentro del Dividendo. Algunos ejemplos de razones serán los siguientes:

De igual forma, de acuerdo a lo que han señalado las Matemáticas, las Razones se encontrarán en todo momento conformadas por dos elementos: el Antecedente, el cual ocupará el ámbito superior de esta expresión, teniendo además la misión de señalar el Dividendo; y el Consecuente, elemento que se encargará por su parte de ocupar el ámbito inferior de la Razón, señalando entonces el Divisor.

Así mismo, pese al parecido estructural que puede existir entre Razones y Proporciones, las Matemáticas señalan que estas expresiones no deben confundirse, puesto que se encuentran conformadas por elementos distintos, al tiempo que son expresiones de realidades matemáticas diferentes. Por ende, la disciplina matemática indica que las Razones –constituidas por el Antecedente y el Consecuente- dan cuenta del cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –conformadas por el Numerador y el Denominador- señalan cuántas partes se han tomado de una unidad que se encuentra a su vez dividida en varias partes.

Proporciones

En segundo lugar, será también de provecho tomar un momento para traer a capítulo la definición de Proporciones, las cuales han sido explicadas por las Matemáticas como la relación de igualdad que existe entre dos razones. En consecuencia, dos razones iguales serán dos razones proporcionales. Un ejemplo de este tipo de relación será la siguiente:

Al observar esta proporción puede verse cómo ninguno de los elementos de las razones involucradas coincide entre sí. Sin embargo, ellas pueden considerarse como Razones proporcionales, o iguales, puesto que si se resolvieran ambas arrojarían como resultado un cociente igual a 2. De esta forma, ambas razones se consideran expresiones del mismo cociente, por ende se asumen como iguales y proporcionales.

Empero, este no es el único método que tienen las Matemáticas para determinar si dos Razones son o no proporcionales, puesto que se podría aplicar igualmente el método de los extremos y los medios. Para esto, entonces se procederá entonces a multiplicar entre sí los Extremos –es decir, el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- así como los Medios –el Consecuente de la segunda por el Antecedente de la primera razón. Si ambos productos coinciden en su valor, entonces las razones serán consideradas entonces como iguales, o proporcionales:

Este atributo de las razones, es conocida como una de las principales leyes de las proporciones, y resulta bastante útil a la hora de que alguno de los elementos de la proporción se presentará como desconocido. Dado el caso, entonces se debería aplicar simplemente una Regla de tres simple directa, a fin de multiplicar entre sí los elementos que se conocen del ámbito que se encuentra completo, para luego dividir este producto entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea conocer. El resultado será el elemento que complete la proporción:

Magnitudes

Así mismo, será necesario tener en cuenta el concepto de Magnitudes, las cuales han sido explicadas por las Matemáticas como el conjunto de elementos, en los que puede verse la capacidad de sumarse, compararse u ordenarse, en base a otras unidades o magnitudes, que les resulten semejantes o iguales.

Magnitudes directamente proporcionales

Con respecto al concepto de Magnitudes directamente proporcionales, las Matemáticas señalan que estas pueden ser entendidas como el conjunto o pares de Magnitudes, en las que puede verse la cualidad de que cuando una de ellas se multiplica por o divide entre un factor específico, la otra se ve afectada por el mismo factor de manera directa y proporcional, es decir, que también se multiplica por o divide entre el mismo factor.

Magnitud proporcional a otras varias

Por último,  también será necesario revisar el concepto de Magnitud proporcional a otras varias, la cual será explicada entonces como la relación directamente proporcional que se establece entre tres magnitudes, cuando una de ellas permanece fija, y la relación directamente proporcional ocurre en las otras dos.

Pese a que la Proporción por lo general es entendida por las Matemáticas como la relación que existe entre dos razones, la concepción de una Magnitud proporcional a otras varias resulta el método indicado para poder construir una proporción entre tres magnitudes.

Regla de tres compuesta directa

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre la Regla de tres compuesta directa, procedimiento matemático que conduce a despejar algún elemento que surja desconocido en una relación directamente proporcional constituida por tres magnitudes directamente proporcionales.

Así mismo, las Matemáticas señalan que existen dos posibles métodos para solucionar este tipo de ejercicios: el Método de la Reducción a la Unidad y el Método de las proporciones. Sin embargo, puede que la mejor manera de explicar cada uno de ellos sea a través de la exposición de un ejercicio concreto, que permita ver cómo se desarrolla cada uno de estos métodos de la Regla de tres compuesta, tal como puede verse a continuación:

Método de reducción a la unidad

Este método buscará, una vez planteada la Magnitud proporcional a otras varias, o la proporción constituida por tres magnitudes, se buscará entonces descubrir la relación proporcional que tienen la unidad con las otras magnitudes, pues esto permitirá descubrir otro tipo de relaciones. Seguidamente, un ejercicio que permite ver la aplicación de este método:

En una imprenta, 10 máquinas del mismo modelo imprimen en un total de 4 horas un grupo de 400 libros. ¿Cuántos libros imprimirán 20 de estas máquinas en un total de 6 horas?

Al plantear el ejercicio, se tendrá entonces que las relaciones proporcionales se establecen entre tres magnitudes: Número de máquinas, horas de trabajo, número de libros, siendo esta última la que surge como incógnita toda vez que se establece una relación directamente proporcional entre número de máquinas y horas de trabajo.

Como se trata del método de reducción a la unidad, se deberá establecer entonces cuántos libros es capaz de producir una máquina en una hora de trabajo, pues esto permitirá saber primero cuánto producen 10 máquinas en una hora, y luego cuántos libros producen 10 máquinas en 6 horas. Por ende, sabiendo que ocho máquinas producen 400 libros en cuatro horas, se buscará saber cuántos producen estas mismas máquinas en tan solo una hora.

Para esto, se construirá una razón entre el número de libros producidos y la cantidad de horas, pues esto llevará a saber cuántos libros imprimen estas máquinas en 1 hora:

Se tiene entonces que las 10 máquinas logran imprimir 100 libros en tan solo 1 hora. Sabiendo esto se podrá entonces determinar cuántos libros imprime en 1 sola hora cada una de estas máquinas. Para esto, se construirá entonces una razón entre el número de libros que fabrican en 1 hora las máquinas, así como el número de máquinas que la construyen:

Cada máquina fabrica en 1 hora un total de 10 libros. Habiendo llegado a este resultado, se puede establecer entonces  cuánto libros imprimirán 20 máquinas en 6 horas. Para esto, se comenzará multiplicando entonces el número de libros que imprime 1 máquina en 1 hora, por los que pueden fabricar 20 máquinas en ese mismo tiempo.

1 x 20  = 20
10 x 20 = 200

Entonces se encuentra que mientras 1 máquina imprimen 10 libros en 1 hora, 20 máquinas imprimen en 1 hora 200 libros. Sabiendo esto, podrá determinarse cuántos libros imprimen estas 20 máquinas en 6 horas. Lo cual se hará multiplicando el producido de una hora por las 20 máquinas por las 6 horas requeridas:

200 libros/hora x 6 horas= 1200 libros

Por este método se determina entonces lo siguiente:

10 máquinas producen en 4 horas 400 libros
1 máquina produce en 1 hora 10 libros
20 máquinas producen en 6 horas 1200 libros

Método de las proporciones

Sin embargo, para resolver la Regla de tres compuesta directa también se puede hacer uso del Método de las proporciones, el cual conduce a crear razones con las Magnitudes que el ejercicio propone, a fin de construir una proporción de tres magnitudes, y luego simplemente tratar de despejar el elemento desconocido, pues esto conducirá a tener el resultado buscado.

No obstante, en este caso también será prudente explicar este método en referencia a un ejercicio en concreto, para que se pueda ver en la práctica cómo debe aplicarse. A fin de verificar que este método es tan efectivo como el Método de la reducción a la unidad, se empleará el mismo ejercicio que fue resuelto con este:

En una imprenta, 10 máquinas del mismo modelo imprimen en un total de 4 horas un grupo de 400 libros. ¿Cuántos libros imprimirán 20 de estas máquinas en un total de 6 horas?

Teniendo esto, entonces se grafica la información planteada por el ejercicio para ver cómo se crean las razones entre los distintos valores que corresponden a cada magnitud:

Número de máquinas	Número de horas de trabajo	Número de libros
10	4	400
20	6	X

Hecho esto, se construye entonces las razones que conformarán a su vez la proporción de tres:

Acto seguido, se resuelve la multiplicación establecida entre los dos primeros elementos, a fin de reducir la proporción a tan solo dos razones:

Se resuelve entonces la proporción, aplicando la Regla de tres simple directa:

En este caso, y con este método, se ha llegado entonces a la misma conclusión:

10 máquinas producen en 4 horas 400 libros
20 máquinas producen en 6 horas 1.200 libros

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