Definiciones fundamentales

En este sentido, puede entonces que sea también necesario delimitar esta revisión teórica a cuatro conceptos específicos: Razones, Proporciones, Magnitudes y Magnitudes inversamente proporcionales, por encontrarse directamente relacionados con  el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado las Razones como un tipo de expresión, la cual tiene como misión dar cuenta del cociente que existe entre dos números, es decir, que las Razones básicamente expresan cuántas veces se encuentra el Divisor dentro del Dividendo. Algunos ejemplos de Razones pueden ser los siguientes:

En cuanto a su estructura, las Matemáticas han señalado que las Razones estarán conformadas por dos elementos: en primer lugar, el Antecedente, el cual ocupa el ámbito superior de la expresión, teniendo como misión señalar el Dividendo; y por otro lado, el Consecuente, elemento que se encuentra ubicado en el ámbito inferior, y que ejerce la misión de indicar cuál es el Divisor de la división que conduce al Cociente que se encuentra expresando la Razón.

Así mismo, las Matemáticas han advertido sobre la gran importancia de no confundir las Razones con las Fracciones, pues más allá del parecido que puede existir entre estas expresiones matemáticas, en realidad se encuentran compuestas por elementos diferentes, al tiempo que representan realidades matemáticas distintas.

Por consiguiente, las Razones –conformadas siempre por Antecedente y Consecuente- darán cuenta del Cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –constituidas por su lado por Numerador y Denominador- referirán cuántas partes se han tomado de una unidad, dividida a su vez en varias partes. Otra diferencia importante entre Razones y Fracciones será que mientras las primeras pueden contar en sus elementos con números decimales y enteros, los elementos de las Fracciones deberán estar constituidas tan solo por números enteros.

Proporciones

En segunda instancia, también será de provecho tomar un momento para pasar revista sobre la definición de Proporciones, las cuales han sido explicadas entonces como la relación de igualdad que existe entre dos razones, es decir, que las Proporciones serán básicamente dos razones que resultan iguales. A continuación, un ejemplo de este tipo de relación:

En este caso, se puede ver cómo a pesar de que ninguno de los elementos de las razones involucradas resultan igual entre ellos, estas razones sí pueden ser consideradas como proporcionales, en tanto que si se resolvieran, en ambos casos se obtendría un cociente igual a 2. Por ende, las razones son consideradas iguales, o proporcionales, porque ambas se constituyen como expresión del mismo cociente.

No obstante, esta no es la única forma que tienen las Matemáticas para determinar si dos razones son o no iguales o proporcionales. De esta manera, la disciplina matemática señala que también se podrá aplicar el método de los extremos y los medios. Para esto, se necesitará entonces multiplicar entre sí los extremos –conformados por el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- así como los medios –Antecedente de la primera expresión por el Consecuente de la razón que se encuentra en segundo lugar. Si las razones son proporcionales, en ambos casos se obtiene el mismo producto:

Este rasgo es conocido por lo general como una de las Leyes de la proporción, y resulta bastante útil en caso de que se desconociera alguno de los elementos de las razones proporcionales. Dada esta situación, el elemento incógnito se despejará entonces a través de una Regla de tres simple directa, en donde se multipliquen los elementos del ámbito que se encuentra completo, para luego dividir este producto entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea completar:

Magnitudes

Así también, será prudente detenerse un momento sobre el concepto de Magnitudes, las cuales han sido explicadas por las Matemáticas como el conjunto de elementos, que cuentan con la propiedad de sumarse, compararse u ordenarse, en relación con una unidad o elemento que resulta semejante u homogénea con ella.

Magnitudes inversamente proporcionales

Finalmente, resultará también de provecho traer a capítulo la definición de Magnitudes inversamente proporcionales, las cuales han sido explicadas de forma general como el par de Magnitudes, en donde se cumple la propiedad de que cuando una de ellas se multiplica por un factor específico la otra se divide por el mismo factor. Así también sucede en este tipo de magnitudes que si la primera se divide por un factor específico, la otra se multiplica por este. En consecuencia, en las Magnitudes inversamente proporcionales ambas se ven afectadas por el mismo factor, pero de manera inversa y proporcional.

Regla de tres simple inversa

Una vez se han explicado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo tener en cuenta la definición de Regla de tres simple inversa, la cual puede ser considerada como un procedimiento matemático específico, dirigido a determinar cuál es el elemento que falta en la proporción establecida por Magnitudes inversamente proporcionales.

Sin embargo, las Matemáticas señalan que no existe un solo método de resolver este tipo de procedimiento, sino que en realidad puede hacerse en base a dos formas:

Método de reducción a la unidad

En primer lugar, estará el Método de reducción a la unidad, el cual busca establecer cuál es la relación de magnitud que sostiene la unidad, siendo consciente de que siempre que en dos Magnitudes inversamente proporcionales la primera magnitud se divida por un factor, la segunda debe multiplicarse por este mismo elemento.

No obstante, puede que la mejor forma de comprender este método para realizar el despeje de un elemento de la proporción que pudiera resultar desconocido, sea a través de un ejemplo concreto que permita ver cómo se desempeña en la práctica este procedimiento:

Una tracto-mula hace su viaje a una velocidad de 60 km/h, demorándose un total de 6 horas en recorrer una distancia determinada. ¿En cuánto tiempo recorrería la misma distancia si la tracto-mula subiera su velocidad a 80 km /h?

En este caso, se tiene que las magnitudes velocidad y tiempo establecen Magnitudes inversamente proporcionales, puesto que a mayor velocidad menor tiempo de viaje, es decir, mientras una se multiplica, la otra se divide. Para aplicar el método de reducción a la unidad, se deberá entonces determinar cuánto tiempo se tomaría este vehículo en recorrer la distancia si lo hiciera a 1 km / h. Para esto, se necesitará dividir 60 km/h entre 60, siendo consciente que este factor afectará también, pero inversamente al tiempo:

60 km / h : 60 = 1 km / h
6 horas / 60 = 360 horas

Hecho esto, es decir, habiendo obtenido la magnitud correspondiente a la unidad: 1 km / h → 360 horas, se procede entonces a buscar en cuánto tiempo este vehículo puede recorrer la distancia si aumenta su velocidad a 80 km / h. Para esto, se deberá multiplicar entonces la unidad por 80, sabiendo que como el tiempo es una magnitud inversamente proporcional se debe dividir también entre este factor:

1 km / h x 80 = 80 km /h
360 horas : 80 = 4,5 horas

De esta forma se pueden expresar los resultados obtenidos:

A 60 km / h →  6 horas
A 80 km / h → 4,5 horas

A mayor velocidad, menor tiempo. Por lo tanto estas magnitudes son Inversamente proporcionales.

Método de las proporciones

Por otro lado, también habrá que recordar que bien si las Magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales, en ambos casos estas magnitudes establecen también proporciones, por lo que a la hora de que se desconozca uno de sus elementos, será tan sencillo como aplicar un procedimiento de Regla de tres, para determinarlo. Si el ejercicio se aplica a Magnitudes inversamente proporcionales, se habla entonces de Regla de tres simple inversa, y la relación se establecerá entre la primera magnitud y la inversa de la otra.

Así también, en este caso será necesario exponer un ejemplo preciso, el cual puede sin embargo ser el mismo planteamiento que se resolvió por medio del método de reducción a la unidad, con el fin de comprobar que ambos métodos conducen a iguales resultados:

Una tracto-mula hace su viaje a una velocidad de 60 km/h, demorándose un total de 6 horas en recorrer una distancia determinada. ¿En cuánto tiempo recorrería la misma distancia si la tracto-mula subiera su velocidad a 80 km /h?

Lo primero que deberá hacerse es exponer la información que ha dado el ejercicio:

A 60 km / h  → se demora 6 horas
A 80 km / h → x se demora

Siendo claramente una relación entre Magnitudes inversamente proporcionales, pues ante mayor velocidad menor tiempo, se deberá recordar que en los ejercicios de Regla de tres simple inversa se establece la relación de la primera magnitud con el inverso de la segunda:

Encontrado este resultado, se procede igualmente a plantear las relaciones determinadas entre las magnitudes:

A 60 km / h se demorará 6 horas
A 80 km / h se demorará 4,5 horas

Al hacerlo, se comprueba efectivamente que se tratan de Magnitudes inversamente proporcionales, en tanto que si la velocidad se multiplica –o aumenta- inmediatamente el tiempo se reduce o divide proporcionalmente, es decir, en base al mismo factor.

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