Propiedad asociativa del Producto cartesiano de conjuntos

Producto cartesiano

En este sentido, el Producto cartesiano puede ser definido como una operación del Álgebra de conjuntos, por medio de la cual dos colecciones abstractas establecen una multiplicación, formando con ello un tercer conjunto, A x B, en donde pueden contarse como productos, todos los pares posibles, que se forman cuando cada elemento de A multiplica a cada uno de los elementos de B. En cuanto a la forma o método con el cual se debe realizar esta operación, se pueden resaltar los siguientes pasos:

1.  Presentar los conjuntos que participarán en la operación, y expresar el Producto cartesiano.
2.  Si el método usado es la galera, se deberán disponer cada uno de los elementos en ella. Si por el contrario, se ha elegido la multiplicación directa, basta con haber expresado la multiplicación.
3. Una vez se tengan los conjuntos dispuestos, se comenzará entonces a multiplicar cada elemento del primero, por cada elemento del segundo conjunto. Se irán anotando pares ordenados de tipo (a,b).
4. Estos pares se van anotando en orden, y contenidos dentro de signos de llaves { } pues ellos conformarán el nuevo conjunto.

Propiedad asociativa del Producto cartesiano

En cuanto a la Propiedad asociativa de esta operación, las distintas fuentes señalan que toda vez que se encuentren más de tres conjuntos relacionados en una operación de este tipo, el orden en el que se realicen las asociaciones entre ellos, no variará el conjunto final, es decir, que en el Producto cartesiano –salvo contadas y especiales casos- se cumple la Propiedad asociativa:

A x (B x C) =  (A x B) x C

Ejemplo de Propiedad no asociativa en el Producto cartesiano

Sin embargo, quizás la mejor manera de explicar esta propiedad, sea a través de la realización de un ejercicio, en donde se demuestre cómo el implementar distintas asociaciones conduce a resultados equivalentes. A continuación, un ejemplo:

Dado un conjunto A= {1, 2, 3}; un conjunto B= {a, b, c} y un conjunto C= {●, ■, ▲} comprobar cómo se cumple la propiedad no asociativa.

Para cumplir con lo que ha sido solicitado en el postulado, se deberá entonces plantear cada uno de los posibles tipos de asociación, a fin de resolver cada resultado:

Primera asociación posible:

A= {1, 2, 3}
B= {a, b, c}
C= {●, ■, ▲}

(A x B) x C=

Se resuelve la primera asociación A x B:

A x B= {1, 2, 3} x {a, b, c}
A x B= {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)}

Seguidamente, este conjunto, se multiplicará a su vez con el conjunto C:

(A X B) X C=
(A X B) X C= {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)} x {●, ■, ▲}

(A x B) x C= {(1,a, ●), (1, a, ■), (1, a, ▲), (1,b, ●), (1,b, ■), (1, b, ▲}, (1,c, ●), (1, c, ■), (1, c, ▲),   (2,a, ●), (2, a, ■ ), (2,a, ▲), (2,b, ●), (2,b, ■), (2,b, ▲ ), (2, c, ●), (2,c, ■), (2, c, ▲), (3,a, ● ), (3,a, ■), (3,a, ▲), (3,b, ●), (3,b,■), (3,b,▲), (3,c,●), (3,c, ■), (3,c,▲)}

Posteriormente, se realizará la operación, a través de la segunda opción de asociación:

A= {1, 2, 3}
B= {a, b, c}
C= {●, ■, ▲}

A x (B x C)=

Se resuelve primero la asociación BxC:

B= {a, b, c}
C= {●, ■, ▲}

B x C= {a, b, c} x {●, ■, ▲}
B x C= {(a, ●), (a, ■), (a, ▲), (b,●), (b,■), (b,▲), (c, ●), (c,■), (c,▲)}

A x (B x C)=
A x (B x C)= {1, 2, 3} x {(a, ●), (a, ■), (a, ▲), (b,●), (b,■), (b,▲), (c, ●), (c,■), (c,▲)}

A x (B x C)=  {(1,a,●), (1, a, ■), (1,a,▲), (1, b, ●), (1,b,■), (1,b,▲), (1,c,●), (1, c, ■), (1, c, ▲), (2, a, ●), (2,a, ■), (2, a, ▲), (2, b, ●), (2, b, ■), (2, b, ▲), (2,c, ●), (2, c, ■), (2, c, ▲), (3, a, ●), (3, a, ■), (3, a, ▲), (3, b, ●), (3, b, ■), (3, b, ▲), (3, c, ●, (3, c, ■), (3,c,▲)}

Se procede entonces a comparar cada uno de los resultados obtenidos:

(A x B) x C= {(1,a, ●), (1, a, ■), (1, a, ▲), (1,b, ●), (1,b, ■), (1, b, ▲}, (1,c, ●), (1, c, ■), (1, c, ▲),   (2,a, ●), (2, a, ■ ), (2,a, ▲), (2,b, ●), (2,b, ■), (2,b, ▲ ), (2, c, ●), (2,c, ■), (2, c, ▲), (3,a, ● ), (3,a, ■), (3,a, ▲), (3,b, ●), (3,b,■), (3,b,▲), (3,c,●), (3,c, ■), (3,c,▲)}

A x (B x C)=  {(1,a,●), (1, a, ■), (1,a,▲), (1, b, ●), (1,b,■), (1,b,▲), (1,c,●), (1, c, ■), (1, c, ▲), (2, a, ●), (2,a, ■), (2, a, ▲), (2, b, ●), (2, b, ■), (2, b, ▲), (2,c, ●), (2, c, ■), (2, c, ▲), (3, a, ●), (3, a, ■), (3, a, ▲), (3, b, ●), (3, b, ■), (3, b, ▲), (3, c, ●), (3, c, ■), (3,c,▲)}

Al hacerlo, se puede concluir que sin importar el orden en que se han realizado las asociaciones, los conjuntos obtenidos son iguales, por lo que se considera comprobada entonces la Propiedad asociativa en el Producto cartesiano:

(A x B) x C = A x (B x C)

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