Definiciones fundamentales

En este sentido, será también necesario delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Ecuaciones de segundo grado completas, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Ecuaciones

De esta forma, se comenzará por decir que las distintas fuentes han señalado que las Ecuaciones podrán ser entendidas básicamente como aquellas igualdades literales, en las cuales el elemento literal constituye una incógnita, que cuenta tan sólo con la posibilidad de asumir un valor específico, que es el único que permite entonces que se cumpla la igualdad planteada originalmente. Por tradición, en las Ecuaciones, la incógnita es representada por la letra x.

Ecuaciones de segundo grado

Por otra parte, las Matemáticas han convenido explicar las Ecuaciones de segundo grado como aquellas igualdades literales, en las cuales puede encontrarse cómo el literal, además de constituir una incógnita que tiene sólo una respuesta posible, se encuentra elevado al cuadrado. Si esta expresión tuviera varios literales, el exponente 2 resultaría el de mayor valor. Un ejemplo de la forma reducida que puede tener esta ecuación será la siguiente:

ax² + bx + c = 0

Así mismo, los diferentes autores han señalado que las Ecuaciones de segundo grado se encontrarán conformadas por dos distintos tipos de componentes, cada uno de los cuales han sido explicado tal como se muestra a continuación:

• Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, renglón en donde puede observarse a su vez dos subtipos: por un lado, los coeficientes a, b y c, los cuales se encuentran constituidos por elementos abstractos numéricos; por otra parte, en este tipo de ecuaciones existirá también la incógnita, representada por la letra x, y cuyo valor deberá determinarse.
• Términos: igualmente, en las ecuaciones de segundo grado podrán encontrarse tres términos distintos, los cuales han sido señalados de la siguiente manera:

• ax² → término cuadrático, el cual es responsable de darle el grado a la ecuación.
• bx → término lineal
• c → término independiente, constituido por un número que no se encuentra acompañado por un literal.

Ecuaciones de segundo grado completas

En segunda instancia, será también necesario señalar la definición de Ecuaciones de segundo grado completas, las cuales son entendidas como aquellas igualdades literales en donde además de que el máximo valor del exponente es el cuadrado, la expresión cuenta, en su forma reducida con sus tres términos, en tanto ninguno de los coeficientes del término lineal o independiente cuenta con coeficientes iguales a cero. En consecuencia, una Ecuación de segundo grado completa tendrá la siguiente forma:

ax² + bx + c = 0

Además, las distintas fuentes matemáticas han señalado que este tipo de ecuaciones pueden ser resueltas de dos distintas maneras: bien sea usando el método de completar cuadrados perfectos, o empleando la fórmula general para solución de ecuaciones de segundo grado completas.

El otro caso de Ecuaciones de segundo grado serán aquellas que resulten incompletas, cuando los términos lineales o independientes resultan nulos, al contar entonces con coeficientes nulos, dando origen a distintos casos de ecuaciones de segundo grado incompletas, las cuales pueden tener las siguientes formas:

ax² + c = 0
ax² + bx = 0
ax² = 0

Primer caso del método de completar cuadrados perfectos

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre el primer caso que puede presentarse en cuanto al método de completar cuadrados perfectos en la solución de ecuaciones de segundo grado completas. En este sentido, las Matemáticas han señalado que este caso ocurre, básicamente, cuando el primer miembro de la ecuación de segundo grado, resulta ser el cuadrado perfecto de un binomio.

Sin embargo, puede que la mejor forma de explicar este método sea a través de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Suponiendo que se tenga la ecuación x² – 12x + 36 = 0 y sabiendo que se trata de una Ecuación de segundo grado completa, se quiera emplear el método de completar el cuadrado perfecto, se deberá entonces conseguir cuál binomio constituye el cuadrado perfecto de esta ecuación. Por lo tanto, se analizará cada uno de los tres términos de la ecuación:

x² → en este orden de ideas se tendrá que x² es el cuadrado de x
36 → así mismo, 36 resulta el cuadrado de 6
12x→ por último, se entenderá que 12x resulta el doble de 6x

Habiendo identificado estos elementos, se conformará entonces un binomio, que resulte un cuadrado perfecto, así como otra forma de escribir la ecuación de segundo grado completa original:

x² – 12x + 36 = (x – 6)²

Habiendo obtenido este  cuadrado perfecto, se podrá despejar, para encontrar la solución a la ecuación, por ende, se deberá aislar la x en el primer término, para así entonces trasponer los términos numéricos al segundo término, y despejar la incógnita:

x – 6 = 0

x = 0 + 6

x = 6

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