Definiciones fundamentales

Así mismo, será necesario también delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Ecuaciones de segundo grado incompletas, por encontrarse directamente relacionadas con cada uno de los casos que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Igualdades

En este sentido, se comenzará por decir que las Igualdades han sido explicadas como las relaciones matemáticas, que se establecen entre dos elementos, que resultan iguales entre ellos, en cuanto a su valor total. De igual forma, las Matemáticas han señalado que el signo que se utiliza para expresar esta relación es el signo igual (=).

Por otro lado, las diferentes fuentes han señalado que en las igualdades pueden encontrarse dos distintos términos, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Primer término: identificados como el elemento o grupo de elementos que se encuentran de forma anterior al signo igual.
• Segundo término: por su parte, el segundo término de la igualdad, será aquel que se encuentra ubicado después del signo usado para expresar esta relación.

Además, las Matemáticas indican que también se pueden distinguir entre dos tipos de igualdades, las cuales han sido explicadas de la siguiente forma:

• Igualdad numérica: cuando la igualdad se establece entre elementos totalmente numéricos.
• Igualdad literal: cuando además de números, los elementos entre los que se establece la relación de igualdad tienen también letras.

Ecuaciones

Por consiguiente, las Ecuaciones han sido explicadas entonces como aquellas igualdades literales, en las que el elemento literal es identificado como una incógnita, que además puede contar tan solo con un valor específico, que permita que la igualdad se cumpla. Por otro lado, las Matemáticas han señalado igualmente que en las ecuaciones la incógnita siempre será señalada con la letra x. Un ejemplo de este tipo de igualdades puede ser el siguiente:

x + 2 = 8

En este caso, se puede optar por hacer que x asuma distintos valores, a fin de comprobar si realmente la igualdad planteada se cumple con todos los valores, o si la x solo tiene la posibilidad de asumir una cantidad específica:

4 + 2 = 8 → 6 ≠ 8
7 + 2 = 8 → 9 ≠ 8
9 + 2 = 8 → 11 ≠ 8
6 + 2 = 8 → 8 = 8

Al hacerlo, se encuentra entonces que efectivamente la igualdad planteada sólo es posible cuando la x resulta igual a 6. En consecuencia, teniendo la incógnita un único posible valor, se considera que se está delante de una ecuación. Si se presentara el caso contrario, es decir, que la x pudiese asumir cualquier valor, pues con todos se cumpliese la igualdad, entonces se estaría delante de una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Por otro lado, también se tomará un momento para explicar cuál es la definición de Ecuación de segundo grado. En este orden de ideas, se podrá señalar que esta ha sido descrita como una igualdad literal, en donde la incógnita, además de contar con una sola posible solución, se encuentra elevada al cuadrado. En caso de que este tipo de ecuación cuente con varios literales, entonces el mayor exponente con el que estos cuenten será el 2. Un ejemplo de cómo luce la forma reducida de esta ecuación será la siguiente:

ax² + bx + c = 0

Además, las distintas fuentes matemáticas señalan que en las Ecuaciones de segundo grado se encuentran conformadas por dos distintos tipos de componentes, descritos de la siguiente forma:

• Elementos: en primer lugar, las fuentes matemáticas distinguirán dos subtipos de elementos: por un lado, el conformado por los coeficientes a, b y c, constituidos por elementos abstractos numéricos; en segunda instancia, dentro de los elementos, se encontrará también la incógnita, la cual ha sido representada por la letra x.
• Términos: igualmente, en las Ecuaciones de segundo grado también serán identificados tres distintos tipos de términos, explicados a su vez de la siguiente forma:

• ax² → término cuadrático, identificado como el responsable de indicar el grado de la ecuación.
• bx → término lineal.
• c → término independiente, llamado así por estar constituido por un elemento numérico, en donde no existe presencia de un elemento literal.

Ecuación de segundo grado incompleta

Finalmente, se lanzarán luces sobre el concepto de Ecuaciones de segundo grado incompletas, las cuales han sido descritas entonces como igualdades literales en las que además de existir una incógnita que solo tiene una posible solución y se encuentra elevada al cuadrado, alguno de los términos de la igualdad son nulos, lo que da origen entonces a que la ecuación resulte incompleta.

Empero, las Matemáticas han señalado que esta posibilidad de resultar nula no es algo que recaiga sobre el primer término de la ecuación, en tanto que si este término se anulara, entonces la ecuación dejaría de ser de segundo grado, y pasaría a ser de primer grado, teniendo entonces la forma bx + c = 0.

No obstante, el término lineal y el término independiente sí cuentan con la posibilidad de ser nulos, lo que ocurriría si el coeficiente es igual a cero. Si esto sucediera, podrían obtenerse entonces los siguientes casos de Ecuaciones de segundo grado incompletas:

• ax² + c = 0 → este caso ocurre cuando el coeficiente del término lineal es igual a cero, lo que hace que este término resulte nulo, y por ende se le da paso entonces a este caso de ecuación de segundo grado incompleta.
• ax² + bx → así también puede ocurrir que el término independiente resulte igual a cero, lo que originaría entonces este caso de ecuación de segundo grado incompleta.
• ax² = 0 → por último podría también suceder que tanto el término lineal como el independiente sean nulos, lo que daría a la ecuación de segundo grado incompleta entonces la siguiente forma.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a la forma en que debe ser resuelta correctamente una Ecuación de segundo grado incompleta. No obstante, es necesario destacar que estas soluciones dependerán directamente del tipo de Ecuación de segundo grado incompleta que sea, por lo que lo mejor puede ser estudiar cada caso por separado, tal como se muestra a continuación:

Resolución de ecuaciones de segundo grado de forma ax² + bx = 0

El primer caso que se estudiará será el correspondiente a las Ecuaciones de segundo grado en las que ocurre que el término independiente resulta nulo, por lo que entonces la igualdad literal asume la forma ax²+ bx = 0. En este caso, las Matemáticas dicen que para que esta ecuación dé como resultado cero existen tan solo dos posibles soluciones, en donde además alguno de los coeficientes debe ser igual a cero:

Sin embargo, será también necesario señalar cuáles son los pasos que pueden conducir a estas dos soluciones:

1.- Dada la ecuación de forma ax² + bx = 0, se comenzará sacando el factor común del primer término:

x . (ax + b ) = 0

2.- Ante esto se obtienen dos posibles soluciones:

que x = 0
o que ax + b = 0

3.- En el segundo caso, todavía es necesario aislar la x en el primer término:

4.- Por ende, se tienen para esta ecuación de segundo grado incompleta, dos posibles soluciones:

Resolución de ecuaciones incompletas de forma ax² + c = 0

En segundo lugar, también será necesario revisar la manera correcta de resolver toda ecuación de segundo grado, que resulte incompleta debido a que su término lineal resultó nulo, dando forma a la ecuación ax² + c = 0. Al respecto, las distintas fuentes han señalado que este tipo de ecuación contará con la siguiente respuesta:

Así mismo, estas soluciones se encontrarán siguiendo cada uno de los pasos que se nombran a continuación:

1.- Lo primero que se hará será revisar la ecuación, pues esto permitirá entender ante cuál de los casos de Ecuación de segundo grado incompletos se está.

2.- Determinado entonces que es una ecuación de tipo ax² + c = 0, se procederá a despejar la x, para esto se comenzará por aislar este elemento en el primer término, trasponiendo entonces todos los términos numérico al segundo término:

3.- A este paso, seguirá también trasponer el cuadrado de la x, logrando despejar entonces este elemento:

Resolución de ecuaciones incompletas de la forma ax² = 0

Por último, también se requerirá tomar un momento para revisar la manera adecuada en que debe abordarse la solución de toda ecuación de segundo grado incompleta, de forma ax² = 0. En este sentido, las distintas fuentes han señalado que la única razón por la que este tipo de ecuación podría dar como resultado cero es porque la x es igual a cero, realidad esta que puede ser expresada de la siguiente forma:

ax² = 0 → x = 0

Con respecto a los pasos que deben seguirse para la solución de este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas, las distintas fuentes han coincidido en nombras los siguientes:

1.- Lo primero que se hará será evaluar la ecuación, a fin de determinar a qué tipo de igualdad literal corresponde.

2.- Identificado entonces que se está delante de una ecuación de segundo grado incompleta, de forma ax² = 0, se procede entonces a despejar la x, para esto se traspondrán los elementos numéricos al segundo término, aislando a la x en el primer término:

3.- Así mismo, será necesario trasponer el cuadrado al cual se encuentra elevada la x:

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