Cardinalidad de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, pareciera necesario comenzar por el propio concepto de Conjunto, a fin de tener presente en todo momento la naturaleza del objeto, en base al cual se realiza la operación de Unión de conjuntos, así como sobre el cual se mide la cardinalidad. Igualmente, será preciso traer a capítulo las definiciones tanto de la operación de Unión de Conjuntos, como de la propiedad de la Cardinalidad de Conjuntos. A continuación, los conceptos:

Conjuntos

De esta forma, se comenzará entonces por definir al Conjunto, el cual es concebido por las Matemáticas como un objeto o colección abstracta, conformada y definida de manera única y exclusiva por los elementos que pueden contarse dentro de él, y que a su vez pueden considerarse como poseedores de un rasgo común a todos, lo que les permite responder al mismo criterio de agrupación, y ser entendidos como una colección. En cuanto a su notación, las distintas fuentes teóricas también coinciden en indicar que esta debe ser hecha siguiendo tres pasos esenciales: en primer lugar, el conjunto deberá ser nombrado con una letra mayúscula; así mismo, los elementos que lo conforman serán presentados en forma de lista, separados por una coma; finalmente este listado de elementos debe ser contenido íntegramente por dos signos de llaves: { }.

Cardinal

Así también, es importante indicar que en el ámbito del Álgebra de Conjuntos, se conoce con el nombre de Cardinal al número total de elementos que puede contarse dentro de un conjunto, independientemente que la cantidad pueda ser considerada como finita o infinita. Con respecto a la notación de este atributo de los conjuntos, la norma admite varias formas, de esta manera, dado un conjunto determinado, en este caso el Conjunto A, se consideran igualmente válido anotar n(A), card (A), # (A) aunque la forma de uso más extendido es │A│.

Por consiguiente, para poner un ejemplo sobre la cardinalidad de un conjunto, si se tuviese un conjunto A, en donde se pudieran contar como elementos lo nombres de instrumentos musicales de cuerdas: A= {Piano, Cuatro, Bajo, Violín, Guitarra, Bandolina} y se quisiera determinar su cardinalidad, sería necesario contar la cantidad de elementos que hay el conjunto, determinándose en un número de cinco (5), hecho que podría ser expresado entonces de la siguiente manera:

│A│= 5

Unión de Conjuntos

Finalmente, será necesario recordar la definición de Unión de Conjuntos, la cual es concebida a su vez por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en donde dos o más conjuntos se unen a fin de crear otro conjunto en donde se puede ver el total de los elementos que se encontraban originalmente en cada uno de los conjuntos. Así mismo, la norma indica que el signo para denotar esta operación será ∪, mientras que su expresión matemática corresponderá a la siguiente forma:

A ∪ B = │A│ + │B│

Cardinalidad en la Unión de Conjuntos

Vistas estas definiciones, será mucho más sencillo explicar cómo se calcula la cardinalidad de un conjunto en la operación de Unión de Conjuntos, en este sentido, se pueden considerar básicamente cuatro situaciones, en donde –según el Álgebra de conjuntos- se deberá proceder de forma distinta, optando incluso por operaciones diferentes. A continuación, cada uno de estos casos:

Si los conjuntos son disjuntos y finitos

En el primer caso se puede hablar de conjuntos, que además de poseer un número finito, cuentan con elementos totalmente distintos, sin que ningún elemento observado en uno de ellos, pueda encontrar semejante en los otros que participan de la operación de unión. En este caso, suponiendo que se tienen un conjunto A, un conjunto B y un conjunto C, y que ellos pueden ser definidos como conjuntos finitos y disjuntos, la forma de calcular la Cardinalidad será la siguiente:

│A ∪ B ∪ C│ =  │A│ + │B│ + │C│

Si los conjuntos no son disjuntos y finitos

Así mismo, puede suceder que los conjuntos entre los que se establece la operación de Unión, sean finitos, pero cuenten entre ellos con elementos que puedan encontrarse en cada uno de los conjuntos que participan de la operación. En este caso, a la hora de establecer la operación de unión, se deberán contar estos elementos tan solo una vez, por lo que a la hora de expresar la cardinalidad no se podrá decir que esta es equivalente al total de los elementos de cada conjunto, sino que por el contrario la cardinalidad de esta operación de unión será igual a la suma de la cardinalidad de cada conjunto menos la cardinalidad de la intersección de ambos conjuntos, es decir, los elementos que se repiten en ellos:

│A ∪ B│ = │A│ + │B│ – │A ∩ B│

Si la unión sucede entre un número arbitrario de conjuntos

Sin embargo, en la medida en que la operación de Unión se va volviendo mucho más compleja, es decir, que va sucediendo entre mayor número de conjuntos, llegando a adquirir incluso un número arbitrario, al momento de calcular la cardinalidad se va haciendo uso de lo que se conoce dentro del Álgebra de Conjuntos como Principio de inclusión-exclusión, y que en el caso de que en la Unión de conjuntos participarán tres conjuntos, la forma de determinar la Cardinalidad sería entonces:

│A ∪ B ∪ C│ = │A│ + │B│ + │C│ – │A ∩ B│ – │B ∩ C│- │A ∩ C│ + │A ∩ B ∩ C│

Si se llegara a tener que calcular la cardinalidad en cuanto a la unión de una colección finita de conjuntos, la operación debería responder, a través del principio de inclusión-exclusión, a la siguiente forma:

Si los conjuntos son infinitos

Llegado el caso de que la operación de Unión, así también como el cálculo de la Cardinalidad, deba darse en torno a Conjuntos infinitos, la norma indica que se deberán seguir las mismas operaciones que en el caso de conjuntos finitos, haciendo algunas pequeñas modificaciones, cónsonas con la forma en que la Teoría de Conjuntos asume los cardinales infinitos.

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