Propiedad Conmutativa en la Unión de conjuntos

Conceptos fundamentales

En tal sentido, será necesario entonces pasar revista sobre algunas definiciones primordiales, como por ejemplo la de Conjunto, la cual será necesario revisar, a fin de poder entender de forma clara la naturaleza de los objetos en base a los cuales se realiza la operación algebraica en donde puede verse la propiedad conmutativa a la que se quiere hacer referencia. Así mismo, resultará de conveniencia traer a capítulo el concepto de Unión de conjuntos, operación del Álgebra de conjuntos, a la que esta propiedad es inherente. A continuación, las definiciones:

Conjunto

En primera instancia, se puede decir entonces que el Conjunto ha sido definido por las Matemáticas como un objeto, conformado por una agrupación de elementos que constituyen una colección abstracta, y que tienen entre sí un rasgo en común, por el que pueden ser considerados como elementos de la misma naturaleza. Así mismo, esta disciplina matemática ha señalado que el conjunto, siempre y en todo momento se encuentra determinado de manera, única y exclusiva, por los elementos que lo conforman. En cuanto a la notación de conjuntos, la norma también indica que el conjunto como tal recibirá como nombre a una letra del alfabeto, usada en mayúscula, mientras que los elementos que lo constituyen serán presentados en forma de lista, separados por una coma, y contenidos por el signo de llaves {}. Por otro lado, la Matemática también ha señalado que un conjunto puede ser tanto finito como infinito, lo cual dependerá totalmente de la propia magnitud de los elementos comprendidos en la colección.

Unión de Conjuntos

Otra de las definiciones totalmente necesarias para entender de forma cabal la Propiedad Conmutativa dentro de la Unión de Conjuntos será la de la propia operación en donde tiene vida esta propiedad, es decir, la Unión, la cual es concebida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en la que dos o más conjuntos determinados se unen, a fin de originar un conjunto en el cual puedan leerse la totalidad de los elementos contenidos en los conjuntos que han participado de la operación. El signo usado para la notación de esta operación es ∪, mientras que la forma matemática a la que responde esta operación será entonces:

A ∪ B = │A│ + │B│

Propiedad Conmutativa en la Unión de conjuntos

Con estas definiciones en claro, será entonces mucho más sencillo aproximarse a la Propiedad Conmutativa que puede darse en torno a la operación de Unión de conjuntos, y que puede definirse como aquella ley que indica que el orden en el que se dé la unión de dos o más conjuntos no alterará en nada el resultado de dicha operación. Por consiguiente se puede decir entonces que la unión del conjunto A con el conjunto B dará el mismo resultado que la unión del conjunto B con el conjunto A. Una forma matemática de expresar esta propiedad conmutativa de la Unión de conjuntos será:

A ∪ B = B ∪ A

Ejemplo de Propiedad Conmutativa en Unión de conjuntos

Sin embargo, quizás la forma más eficiente de explicar esta propiedad concerniente a la operación de Unión de conjuntos, considerada por el Álgebra de conjuntos, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, en donde se puede comprobar a ciencia cierta lo que dicta la teoría. A continuación, entonces, un caso de Propiedad Conmutativa en la Unión de Conjuntos:

Dado un conjunto A, constituido por animales mamíferos: A = {Oso, León, Perro, Vaca, Gato} y un conjunto B, conformado por animales en general B = {Cabra, Pez, Pelícano, Tiburón, Lémur, Lagartija} determinar si en efecto, al realizar entre ellos una operación de Unión de conjuntos, se cumple la propiedad conmutativa:

Para dar cumplimiento con la exigencia de este postulado, será necesario entonces realizar las operaciones de unión en ambos sentidos: A ∪ B  y  B ∪ A, a fin de comprobar si en efecto estas serán equivalentes, hecho que vendría a comprobar que se cumple la Propiedad Conmutativa:

A = {Oso, León, Perro, Vaca, Gato}
B = {Cabra, Pez, Pelícano, Tiburón, Lémur, Lagartija}

A ∪ B = {Oso, León, Perro, Vaca, Gato Cabra, Pez, Pelícano, Tiburón, Lémur, Lagartija}

B ∪ A = {Cabra, Pez, Pelícano, Tiburón, Lémur, Lagartija, Oso, León, Perro, Vaca, Gato}

Al comparar los resultados, se puede ver cómo, a pesar de contar con una disposición distinta, lo cual en realidad no tienen ninguna implicación, los conjuntos que han resultados de las dos distintas operaciones de Unión de conjuntos cuentan exactamente con los mismos elementos, tanto en cantidad como en identidad, por lo que entonces se puede decir que en este caso, efectivamente:

A ∪ B  =  B ∪ A

Hecho que además se puede servir para concluir que en esta operación de Unión de Conjuntos sí se cumple la Propiedad Conmutativa.

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