Ejemplos de la Propiedad de Idempotencia en la Unión de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede resultar conveniente traer a colación la definición de Conjunto, a fin de que desde un primer momento quede definida la naturaleza del objeto en base al cual se realiza la operación, a la que la Propiedad de Idempotencia resulta inherente. Así mismo, será necesario echar luces sobre el concepto de Unión de Conjuntos, permitiendo entonces tener presente el tipo de operación en donde se da esta propiedad. Finalmente, la construcción teórica debería abordar a la propia Ley de Idempotencia, lo cual se hará con el objetivo de saber cuál es la propiedad que rige los casos que se presentarán como ejemplos de ella.  A continuación, las definiciones:

Conjunto

Se puede comenzar entonces por decir, que las Matemáticas han definido al Conjunto, a grandes rasgos, como un objeto, determinado y constituido, de forma única y exclusiva, por una agrupación o colección de elementos, entre los cuales debe cumplirse como condición sine qua nom que todos responda a un mismo criterio de agrupación, es decir que entre ellos exista un rasgo en común, que permita considerarlos como elementos de la misma naturaleza. Así mismo, la norma ha establecido que en cuanto a la notación de conjunto, éste debe ser nombrado con una letra del alfabeto, la cual se usará en mayúscula (conjunto A, conjunto B, conjunto C) mientras que sus elementos irán nombrados en forma de lista, separados por una coma, y contenidos entre signos de llave {}.

Unión de conjuntos

Por otra parte, es importante hacer referencia también a la definición que tiene el Álgebra de Conjuntos sobre la Unión de Conjuntos, la cual es concebida como la operación por medio del cual un conjunto determinado se une a otro, a fin de formar un tercer conjunto en donde se pueden leer todos los elementos que pertenecían a los conjuntos que se han unido. Con respecto a su notación, esta disciplina matemática también señala que vendrá dada por el símbolo ∪, y que puede ser expresada de la siguiente forma:

A ∪ B = │A │ + │B│

Propiedad de Idempotencia en Unión de conjuntos

Finalmente, surge como necesario hacer referencia a la propiedad sobre la cual se estarán brindando posteriormente algunos ejemplos. De esta manera, se puede decir entonces que el Álgebra de Conjuntos ha definido a la Idempotencia como la Ley o Propiedad que dicta que siempre que un conjunto determinado quiera unirse a sí mismo, el resultado de esta unión entre conjuntos será el propio conjunto. Igualmente, esta materia algebraica ha señalado que la Propiedad de Idempotencia puede ser expresada de la siguiente forma:

A ∪ A = A

Ejemplos de Propiedad de Idempotencia (Unión de conjuntos)

Con estas definiciones y conceptos presentes, será mucho más sencillo entender la terminología y las operaciones inherentes a esta propiedad concerniente entonces a la operación de Unión de Conjuntos. Así mismo, la exposición de algunos ejemplos será de utilidad a la hora de ilustrar esta Ley que indica que siempre que un conjunto se una a sí mismo, el resultado será el mismo conjunto. A continuación, algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Dado el conjunto A, conformado por instrumentos musicales de cuerda:  A = {Violín, Guitarra, Piano, Cuatro…} comprobar cómo se  cumple la Propiedad de Idempotencia al someter a este conjunto a una operación de unión consigo mismo.

En este sentido, se deberá realizar entonces la operación de unión de este conjunto con él mismo, la cual tomaría entonces la siguiente expresión:

A = {Violín, Guitarra, Piano, Cuatro…}

A ∪ A= {Violín, Guitarra, Piano, Cuatro…} ∪ { Violín, Guitarra, Piano, Cuatro…}

Sin embargo, al plantearla de esta forma, se debe cumplir la norma que dicta que en el momento de unir dos conjuntos, sólo se tomará en cuenta una vez los elementos que sean semejantes entre ellos, por lo tanto:

A ∪ A= {Violín, Guitarra, Piano, Cuatro…}

Así mismo, se comprueba entonces que la unión A ∪ A es igual al conjunto A, por lo que también se puede concluir que en efecto en esta operación de Unión de conjuntos se cumple la Propierda de Idempotencia.

Ejemplo 2

Suponiendo que se tiene un conjunto B, conformado por deportes acuáticos:  B= {Natación, Windsurf, Surf, canotaje} comprobar si al someterlo a una operación de unión consigo mismo, en efecto se cumple la Propiedad de Idempotencia, inherente a esta operación:

Para esto, se deberá comenzar por realizar la operación de Unión del conjunto B consigo mismo:

B= {Natación, Windsurf, Surf, canotaje}

B ∪ B =  {Natación, Windsurf, Surf, canotaje} ∪ {Natación, Windsurf, Surf, canotaje}

Al hacerlo, se debe tener como criterio entonces que sólo se podrá tomar en cuenta una vez los elementos semejantes entre ambos conjuntos, por lo que entonces el resultado final de esta operación de unión será:

B ∪ B =  {Natación, Windsurf, Surf, canotaje}

Comparando el resultado con el conjunto B original, en cuanto al que se dio la operación, se podrá determinar entonces que en efecto en esta operación de Unión de conjuntos, se cumple plenamente la Propiedad de Idempotencia, puesto que en efecto B ∪ B = B.

Ejemplo 3

En último lugar, se puede colocar también como ejemplo este ejercicio en donde en base a un conjunto C, conformado por animales mamíferos: C = {Perro, Gato, Vaca, León, Oso, Camello} se deberá someter al conjunto a una operación de unión consigo mismo, a fin de comprobar si en efecto se cumple la Propiedad de Idempotencia.  A continuación, la solución:

Con el fin de dar respuesta a lo solicitado en el enunciado, será necesario entonces plantear y resolver la operación de Unión de conjunto C por sí mismo:

C = {Perro, Gato, Vaca, León, Oso, Camello}

C ∪ C = {Perro, Gato, Vaca, León, Oso, Camello} ∪ {Perro, Gato, Vaca, León, Oso, Camello}

C ∪ C = {Perro, Gato, Vaca, León, Oso, Camello}

Al comparar resultados, se tiene entonces que efectivamente C ∪ C = C, por lo que se puede concluir que sí se cumple la Propiedad de Idempotencia en esta operación de Unión.

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