Caso particular de los Problemas de repartos directamente proporcionales (Matemáticas)

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede que también sea conveniente delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales y Repartos directamente proporcionales, por encontrarse directamente relacionados con este procedimiento matemático. A continuación, cada uno de ellos:

Razones

En primer lugar, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido las Razones como una expresión matemática, que da cuenta del cociente entre dos números, o en otras palabras, de la cantidad de veces que se encuentra contenido un Divisor dentro del Dividendo. Algunos ejemplos de razones serán las siguientes:

De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes matemáticas, las Razones estarán conformadas siempre por dos elementos: el antecedente, el cual servirá como Dividendo; y el consecuente, elemento este que fungirá como Divisor. En este punto, es también importante advertir la importancia de no confundir las Razones con las Fracciones, pues aun cuando pudieran parecerse en realidad corresponden a expresiones distintas.

En este sentido, las Matemáticas han señalado que mientras las Fracciones son expresiones que sirven para señalar cuántas partes se han tomado de una unidad, dividida previamente en partes iguales, mientras que la Razón siempre dará cuenta del cociente entre dos números. Otra diferencia entre estas dos expresiones será que la Fracción siempre debe estar conformada por números enteros, cuando por su lado la Razón sí puede estar constituida por números decimales.

Proporción

Así mismo, será conveniente pasar revista sobre el concepto de Proporción, el cual ha sido definido por las distintas fuentes como una relación de igualdad entre dos razones, es decir, dos razones que al resolverse arrojan el mismo resultado o cociente Por ejemplo, si se tuvieran las siguientes razones:

Se podría ver cómo pese a contar con valores distintos en cada uno de sus elementos, ellas pueden ser consideradas como razones iguales, o proporcionales, ya que si fuesen resueltos cada uno de las divisiones planteadas, en ambos casos se obtendría el mismo cociente. Sin embargo, esta no es el único procedimiento que existe a la hora de determinar si dos razones resultan proporcionales o no, puesto que también podrían multiplicarse entre ellos sus extremos –el antecedente de la primera razón por el consecuente de la segunda- así como sus medios –el consecuente de la segunda expresión por el antecedente de la primera- operación esta que deberá arrojar en ambos casos el mismo producto. Por ejemplo:

Esta propiedad de la proporcionalidad puede resultar bastante útil en caso de que se desconozca algunos de los elementos de las razones descritas como proporcionales o iguales. En ese caso, será entonces necesario simplemente multiplicar los dos factores que se conocen de los extremos o de los medios, para luego dividir ese producto entre el único elemento conocido en las razones, tal como puede verse seguidamente:

Magnitudes directamente proporcionales

En tercer lugar, también será necesario tener en cuenta el concepto de Magnitudes directamente proporcionales. No obstante, también será conveniente tomar un momento para explicar la definición que han dado las Matemáticas sobre las Magnitudes, las cuales han definido como un conjunto de elementos, que cuentan con la propiedad de sumarse, compararse u ordenarse.

Con respecto a las Magnitudes directamente proporcionales, estas claramente pueden ser definidas como aquel conjunto de magnitudes, en donde se cumple la propiedad de que si una de ellas se multiplica o divide por un número, las otras también lo harán por el mismo factor, es decir que aumentan o disminuyen de formas proporcionales.

Por ejemplo, si se entra en una tienda de telas, y se observa que se oferta 1 metro de tela por 5 euros, y se quisiera saber en cuánto se ofrecerían 5 metros de este material, pues simplemente se requerirá multiplicar cada uno de los elementos por este factor ofrecido, teniendo la siguiente relación:

1 metro →  5 euros
5 metros → 25 euros

Así mismo, las relaciones entre Magnitudes directamente proporcionales crean también razones proporcionales, por lo que también pueden ser resueltas por medio de procedimientos de Regla de tres directa simple.

Repartos directamente proporcionales

Finalmente, también será de provecho señalar cuál es la definición que han dado las Matemáticas sobre los Repartos directamente proporcionales, los cuales han sido descritos en todo momento como el procedimiento matemático destinado a determinar cómo debe repartirse de forma proporcional cierto elemento entre un número de factores.

Este procedimiento resulta bastante útil en la vida cotidiana, pues puede ayudar a determinar por ejemplo cómo debe hacerse el reparto de plata entre un grupo de trabajadores según la tarea realizada a nivel individual, entre otras aplicaciones.

Por ejemplo, si se tuviera que en una carpintería se han fabricado un total de 6 mesas, por un costo de 600 euros, y que en este trabajo participaron tres carpinteros, cada uno de los cuales fabricó correspondientemente la siguiente cantidad de mesas: Antonio hizo 2; Pedro, 3 y Juan sólo fabricó 1, y se quisiera saber cuál es la paga que cada uno debe recibir por este trabajo, entonces se debería realizar un procedimiento de repartos directamente proporcionales:

Para realizarlo, pueden haber dos métodos posibles: el de la reducción a la unidad o el método de las proporciones. En este caso se realizará el de la reducción a la unidad. Por consiguiente, se buscará entonces determinar cuál es el costo de una sola de las mesa, lo cual se hará construyendo una razón en donde el antecedente esté conformado por el total de dinero que se obtuvo por las mesas, y el consecuente, por el número de mesas que se construyeron:

Se tiene entonces que el valor unitario de cada mesa es de 100 euros. Con este dato, bastará con multiplicad este valor por el número de mesas que fabricó cada carpintero, para conocer entonces cuál es la paga que debe recibir cada uno de ellos:

Antonio → 2 x 100 = 200 euros
Pedro → 3 x 100 = 300 euros
Juan → 1 x 100 = 100 euros

Caso particular de los repartos directamente proporcionales

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo revisar el Caso particular que ha descrito la Matemática sobre la solución de Problemas de Repartos directamente proporcionales, y que básicamente son descritos como este tipo de ejercicios en donde se pretende determinar la forma proporcional en que debe repartirse una cantidad  específica entre otros números, que cuentan con la peculiaridad de tener un divisor común.

En este tipo de casos, la teoría matemática señala que lo mejor será, una vez identificado que los números entre los que se debe repartir una cantidad determinada, poseen un divisor común, entonces proceder a dividir estos números entre este divisor, a fin de obtener entonces su forma simplificada, y entonces sí avanzar sobre el procedimiento de reparto directamente proporcional.

Empero, puede que la mejor forma de cerrar una explicación sobre este caso en particular, sea a través de un ejemplo preciso, en el cual se pueda ver de forma concreta cómo se debe proceder. A continuación, entonces un ejemplo de caso particular de los problemas de repartos directamente proporcionales:

Si se diera el caso, de que por ejemplo en una jornada de información, se tuviera que repartir un total de 360 panfletos entre 3.000 niños de educación preescolar, 2000 estudiantes de primaria, y se deseara saber cuántos panfletos le corresponde a cada grupo, lo mejor sería establecer un problema de repartos directamente proporcionales.

Sin embargo, en este caso se podrá ver también que tanto 3000 como 2000 son números que tienen 1000 como un divisor común, por lo que puede resultar bastante práctico dividir estos números entre este divisor, para así simplificarlo.

3000 : 1000 = 3
2000 : 1000 = 2

Hecho esto se tiene una forma simplificada, y mucho más manejable a la hora de realizar el procedimiento de repartos directamente proporcionales. Para esto, se tomará cada caso, y se buscará hacer el reparto proporcional de a 3 y 2. Por ende, en cada caso, se hará una razón entre el número total de panfletos y la suma de los números entre los que se quiere repartir. Para obtener la proporción que les corresponden a los 3000 estudiantes se deberá multiplicar dicha razón por 3, y para llegar al número que deben obtener los 2000 estudiantes se debe multiplicar la razón por 2, tal como puede verse a continuación:

Proporción correspondiente para los 3000 estudiantes:

Proporción correspondiente para los 2000 estudiantes:

Por consiguiente, este tipo de casos especiales, pueden ser resueltos por este método, un poco más sencillo. De lo contrario, se deberían manejar números muy grandes, que quizás dificultarían los procedimientos. Por ejemplo, en este mismo caso, si no se procediera a realizar la simplificación, se tendría entonces que realizar una razón entre el número de los panfletos a repartir y el número total de 5000 estudiantes, para luego multiplicar dicho resultado por 3000 y luego por 2000, lo cual arrojaría iguales resultados:

Proporción correspondiente para los 3000 estudiantes:

Proporción correspondiente para los 2000 estudiantes:

De tal manera, la forma de resolver el ejercicio dividiendo primero los factores por su común divisor es en verdad una forma de simplificar el procedimiento.

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