Definiciones fundamentales

Por consiguiente, lo mejor será enfocarse en aquellas definiciones que permitirán comprender la naturaleza de la expresión involucrada, así como del elemento que debe identificarse, tal como las que se muestran a continuación:

Monomio

En primer lugar, deberá traerse a colación la definición de monomio, visto por el Álgebra elemental como un tipo de expresión algebraica elemental, la cual se encuentra constituida por el producto de un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto no numérico (elevado siempre a un exponente entero y positivo) y en la que se pueden distinguir al menos cuatro elementos esenciales: Signo (acompaña al número, revelando su naturaleza); Coeficiente, constituido por el elemento numérico del polinomio; Literal, conformado por una letra que representa una cantidad desconocida; y finalmente el Grado, elemento que es equivalente al valor del mayor exponente que se haya podido ver en las variables del término.

Polinomio

Por su parte, el polinomio es visto por el Álgebra elemental también como una expresión algebraica, sólo que compleja, la cual ha sido descrita también como un conjunto de monomios y términos independientes, entre los que se establecen operaciones matemáticas, siendo casi siempre la suma la que ocurre entre ellas, y en menor frecuencia de resta y multiplicación, resultando entonces la operación de la división la que nunca podrá realizarse. Así también, esta disciplina matemática ha indicado que en el Polinomio pueden identificarse cuatro elementos básicos: Términos, constituidos por cada uno de los sumandos; Términos independientes, definidos como aquellos que no cuentan con presencia de una variable; Coeficientes, nombre que reciben aquellos números acompañados por una variable; y por último Grado, cuyo valor es equivalente al valor del mayor exponente o grado absoluto de los monomios que constituyen al polinomio.

Grado relativo de un polinomio

En cuanto al grado del polinomio, la forma de determinarlo variará dependiendo del número de variables con las que cuente la expresión algebraica. No obstante, la diferencia no sólo abarca una forma distinta de determinar este tipo de elemento, puesto que además en los polinomios de más de una variable, se pueden distinguir dos tipos de grados, los cuales se diferenciarán según el enfoque que tengan sobre la expresión. Uno de ellos es el grado relativo del polinomio, definido como el grado que con una visión parcial sólo toma en cuenta el valor del exponente mayor al que pueda encontrarse elevada la variable que se haya escogido como guía.

Ejemplos de grado relativo de polinomio

No obstante, la mejor forma de comprender cuáles son las operaciones relacionadas con el hecho de determinar el grado relativo de un polinomio de más de una variable, será a través del análisis de algunos ejemplos, como estos que se ofrecen seguidamente:

Dado el polinomio 3xy – 2xyz + x²yz + x³ determinar el grado relativo según la variable x

Para cumplir con la misión propuesta por el enunciado, se deberá revisar cada uno de los exponentes a los que se encuentra elevada la variable x, la cual además puede registrarse en los cuatro términos que constituyen el polinomio, teniéndose entonces los siguientes:

3xy → x →1 (cuando una variable no cuenta con un exponente claramente expresado, se asume que es igual a 1.

– 2xyz → x→ 1

x²yz → x→2

x³ → x→3

Al revisar cada uno de los exponentes a los que se encuentra la variable guía x, se tiene que el de mayor valor es 3, por lo que el Grado relativo del polinomio 3xy – 2xyz + x²yz + x³ según la variable x es igual a 3.

Dado el polinomio 4ab² – 3abc + 23bc² – c⁴ determinar sus grados relativos

Por su parte, este polinomio se encuentra compuesto igualmente por cuatro términos, en donde de forma general se pueden apreciar al menos tres variables. Por lo tanto, para determinar los grados relativos presentes en esta expresión, se deberá prestar atención al máximo exponente al que se encuentran elevadas cada una de ellas, como se aprecia seguidamente:

4ab² →  a→ 1 / b→2
– 3abc → a→ 1 / b→1 / c→1
23bc² → b→1 / c→2
– c⁴ →  c→4

Al revisar los valores de cada exponente, se tiene entonces que por la variable a el mayor es 1; por la variable b el mayor es 1; y por la variable c el exponente de mayor valor es 4. De esta forma, al expresar los grados relativos de este polinomio, se tendrá entonces:

Grado relativo según la variable a = 1
Grado relativo según la variable b= 1
Grado relativo según la variable c = 4

Dado el polinomio xyz – 3x² + 4y³ + 5z determinar los grados relativos

En este caso, por ejemplo se tiene un polinomio en donde si bien se pueden encontrar más de una variable, apenas uno de los términos cuenta con ella. No obstante, la expresión, a la hora de encontrar sus grados relativos, simplemente se deberán revisar los valores de los exponentes a los que se encuentran elevadas cada variable:

xyz →  x→ 1  /  y→1 / z→1
– 3x² →  x→2
4y³ → y→3
5z → z→1

Al revisar los exponentes de cada variable, se pueden determinar que los máximos exponentes son los siguientes: por la variable x el mayor exponente es igual a 2; por la variable y el exponente de mayor valor es 3; y por la variable z el exponente de más valor es 1. De esta forma, a la hora de expresar los grados relativos de este polinomio, se tendrá entonces:

Grado relativo por la variable x = 2
Grado relativo por la variable y= 3
Grado relativo por la variable z=1

Dado el polinomio 6x² – 3y² + z⁴ +3 calcular sus grados relativos

En este polinomio se puede ver cómo aun cuando cada término cuenta con una sola variable, cada uno cuenta con una variable distinta, por lo que se trata entonces igualmente de un polinomio de más de una variable. Para determinar sus respectivos grados relativos, se deberá tomar en cuenta los exponentes a los que se encuentran elevadas cada una de sus variables, teniéndose entonces que el polinomio 6x² – 3y² + z⁴ +3  cuenta con los siguientes grados relativos:

Grado relativo según x=2
Grado relativo según y=2
Grado relativo según z=4

Dado el polinomio  5a – a² + 3a⁴  + abc determinar sus grados relativos

Por otro lado, también pueden ocurrir casos en donde solo un término tenga presencia de más de una variable, sin embargo esto basta para que el polinomio sea considerado igual. En ánimos de determinar los grados relativos de este polinomio, se debe entonces revisar los valores de los exponentes de cada variable, a fin de determinar cuál es el de mayor valor:

5a →  a→1
– a² →  a→2
3a⁴ →  a→ 4
abc →  a→ 1 / b→1 / c→1

Identificando entonces cuáles son los mayores exponentes, se tendrá que los grados relativos del polinomio 5a – a² + 3a⁴  + abc son los siguientes:

Según la variable a= 4
Según la variable b= 1
Según la variable c=1

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