Cómo realizar la división de polinomios

Así mismo, esta disciplina matemática ha señalado también cuáles son los pasos que deben seguirse a la hora de dividir un polinomio entre otro. Sin embargo, como también puede ocurrir que la división en la que participe un polinomio no sea entre otro polinomio, sino entre un monomio, a la hora de describir los pasos para realizar esta operación, se deberá tomar en cuenta cuáles son las expresiones involucradas.

Pasos (polinomio entre monomio)

En este sentido, si la operación de división es planteada entre un polinomio (suma finita de monomios y términos independientes) y un monomio (expresión algebraica elemental, conformada por el producto entre un número y una letra, elevada siempre a un número entero y positivo) se deberán seguir los siguientes pasos:

• Organizar el polinomio en forma ascendent
  Expresar la multiplicación del monomio entre cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta la Ley de signos.
• Proceder a la división de cada término, para lo cual se deberán dividir los coeficientes, y restar los exponentes.
• Se expresa el resultado final.

Pasos (polinomio entre polinomio)

En cambio, si las dos expresiones algebraicas involucradas son polinomios, se deben seguir otro tipo de pasos, a fin de lograr hallar el cociente y el resto de la división. Entre ellos se encuentran los siguientes:

• En primer lugar, se proceden a ordenar ambos polinomios, preferiblemente de forma descendente, a fin de procurar que los términos semejantes de cada uno cuenten con igual disposición.
• Se procede entonces a dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
• El resultado de la división de los primeros términos del dividendo y el divisor deberá multiplicarse por cada uno de los términos del divisor, anotándose el resultado debajo del dividendo, según su orden.
• Cuando se encuentra el resultado anotado debajo del dividendo, se procede a restar dichos polinomios, para lo cual se anota con signo contrario.
• Se divide el primer término del resultado obtenido de la resta, entre el primer término del divisor.
• Este número se multiplica entonces por cada uno de los términos del divisor, mientras el resultado se va anotando debajo de los polinomios que han ido surgiendo en el lugar donde está anotado el dividendo.
• Una vez anotado el resultado, se procede a restar nuevamente ambos términos, y se repite la operación una y otra vez, hasta que el primer término del resto sea un grado menor que el del divisor, por lo que ya no se pueda continuar dividiendo. Al resultado obtenido debajo del divisor, se le considera el cociente; mientras que al obtenido debajo del dividendo se le toma como resto.

Ejemplos de cómo dividir polinomios

Igualmente, a la hora de abarcar los distintos casos que pueden servir para ejemplificar las operaciones de división en donde pueden estar involucrados los polinomios, se deberá distinguir, si dicha división se hará entre un polinomio y un monomio, o entre dos polinomios. A continuación, algunos ejemplos de ambos casos:

Ejemplos de cómo dividir un polinomio entre un monomio

Por consiguiente, si el caso implica dividir un polinomio entre un monomio, se pueden considerar entonces los siguientes ejemplos:

Resolver la siguiente operación: (4x⁴ + 2x³ + 12x²): (2x)=

Al tratarse de un polinomio ordenado, no será necesario cumplir con este primer paso, por lo que para resolver esta operación se comenzará simplemente por expresar las distintas divisiones que pueden plantearse:

(4x⁴ + 2x³ + 12x²) : (2x)=
(4x⁴:2x) + (2x³:2x) + (12x²:2x) =

Para resolverlas, se deberá dividir los coeficientes de cada término, mientras que se restarán los exponentes:

(4x⁴:2x) + (2x³:2x) + (12x²:2x) =

(4:2)x^4-1 + (2:2)x^3-1 + (12:2)x^2-1 =

(4:2)x^4-1 + (2:2)x^3-1 + (12:2)x^2-1 =

2x³ + 4x² + 6x

Resultado final:  (4x⁴ + 2x³ + 12x²): (2x)= 2x³ + 4x² + 6x

Resolver la siguiente operación (15x⁴+ 5x² – 5x⁵ – 10x²+ 25x³) : (5x²)=

Como la primera expresión algebraica es un polinomio, y se encuentra desordenado, el primer paso para hacer esta operación será ordenar el polinomio de forma descendente:

15x⁴+ 5x² – 5x⁵ – 10x³+ 25x³ → – 5x⁵+ 15x⁴– 10x³+ 25x³+ 5x²

Con la disposición descendente del polinomio, se procede entonces a expresar las distintas operaciones de división:

(– 5x⁵+ 15x⁴– 10x³+ 25x³+ 45x²): (5x²) =
(– 5x⁵:5x²)+ (15x⁴:5x²) + (– 10x³: 5x²) + (25x³: 5x²) + (45x²: 5x²)=

(– 5:5)x^5-2+ (15:5)x^4-2+ (– 10:5)x^3-2 + (25:5)x^3-2+ (45:5)x^2-2 =

-x³ + (3)x²+ (-2)x + (5)x + (9)=

-x³ + 3x²+ (-2x + 5x) + 9=

-x³ + 3x²+ (3x) + 9=

-x³ + 3x²+ 3x + 9

Resultado final: (15x⁴+ 5x² – 5x⁵ – 10x²+ 25x³) : (5x²)= -x³ + 3x²+ 3x + 9

Resolver la siguiente operación: (9x – 3x⁵ + 15x⁴ – 27x³ + 3x²) : (3x)=

9x – 3x⁵ + 15x⁴ – 27x³ + 3x² →  – 3x⁵ + 15x⁴ – 27x³ + 3x² + 9x

(– 3x⁵ + 15x⁴ – 27x³ + 3x² + 9x) :  (3x)=
(– 3x⁵ + 15x⁴ – 27x³ + 3x² + 9x) :  (3x)=

(-3: 3)x^5-1 + (15:3)x^4-1 +(-27:3)x^3-1 + (3:3)x^2-1 + (9:3)x^1-1=

-x⁴ + 5x³ -9x²+ x + 3

Resultado final: (9x – 3x⁵ + 15x⁴ – 27x³ + 3x²) : (3x)=  -x⁴ + 5x³ -9x²+ x + 3

Ejemplos de cómo dividir polinomios entre polinomios

Por otra parte, si la operación planteara la división entre dos polinomios, entonces se pueden tener los siguientes ejemplos:

Resolver la siguiente operación  (25x⁴ – 5x³ + 30x² – 10x) :  (5x³ – x +5)

25x⁴: 5x³ = 25:5x^4-3 =  5x
(5x³ – x +5) . (5x)=  25x⁴ – 5x² + 25x → -(25x⁴ – 5x² + 25x) →  -25x⁴ + 5x² -25

-5x³: 5x³ = -1
(5x³ – x +5) . -1=   – 5x³ + x – 5 →  -(- 5x³ + x – 5) =  5x³ – x + 5

Cociente: 5x-1
Resto: 25x² – 34x + 5

Resolver la siguiente operación: (10x⁵ – 16x⁴ + 12x³ – 4x² + 2x – 8) :  (2x² – 6x + 4)

10x⁵: 2x² =  5x^5-2 = 5x³
(2x² – 6x + 4) . 5x³=  10x⁵ – 30x⁴ + 20x³ → -(10x⁵ – 30x⁴ + 20x³) = -10x⁵ + 30x⁴ – 20x³

14x⁴ : 2x² =  7x^4-2 =  7x²
(2x² – 6x + 4).7x² = 14x⁴ – 42x + 28x²  → -(14x⁴ – 42x + 28x²) → -14x⁴ + 42x -28x²  

  

34x³: 2x² =  17x^3-2 =  17x
(2x² – 6x + 4) . 17x=  34x³ – 102x² + 68x → -(34x³ – 102x² + 68x) → -34x³+ 102x² – 68x

Cociente: 5x³ + 7x² + 17x
Resto: 79x² –  66x – 8

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