Propiedades de la Diferencia simétrica entre conjuntos

Conceptos básicos

En este sentido, quizás lo mejor sea empezar por la definición de Conjunto, pues una revisión a este concepto puede ayudar a entender cuál es la naturaleza del objeto en base al cual tiene lugar la Diferencia simétrica, definición sobre la que resulta también pertinente pasar revista, pues ella ayudará a entender en medio de qué operación tienen lugar las distintas propiedades que se explicarán posteriormente:

Conjunto

Por consiguiente, al tocar la definición de Conjunto, se puede comenzar por decir que éste es entendido por la Matemática como un objeto, que se encuentra definido y constituido –de forma única y exclusiva- por elementos, que comparten un rasgo en común, el cual les permite conformar esta colección abstracta, llamada Conjunto. Así mismo, esta disciplina señala que la notación del Conjunto debe contemplar tres aspectos específicos: el primero de ellos, que el conjunto reciba por nombre el de una letra mayúscula; en segundo lugar, que sus elementos sean contenidos por signos de llaves { } y en finalmente que estos elementos se presenten como un listado, separado uno del otro gracias al uso de la coma, tal como si fuesen una numeración.

Diferencia Simétrica

Igualmente, se hace necesario tomar en cuenta el concepto de Diferencia Simétrica, la cual puede ser explicada como una operación básica del Álgebra de conjuntos, mediante la cual dos conjuntos originan un tercer conjunto, en donde se pueden contar como elementos aquellos que se encuentran solo una vez en un conjunto, sin que pueda encontrar semejante en el otro de ellos. En otras palabras, en una operación de Diferencia Simétrica un conjunto A y un conjunto B conforman un conjunto A∆B que estará constituido por aquellos elementos que se encuentran solo en A, pero no en B, así también como por aquellos elementos que aparecen en B pero no en el conjunto A.

Propiedades de la Diferencia Simétrica

Teniendo presente estas definiciones, será mucho más sencillo aproximarse a la terminología y las distintas operaciones inherentes a cada una de las propiedades que el Álgebra de conjuntos ha podido identificar en la operación de Diferencia Simétrica, y que pueden explicarse de la siguiente manera:

Propiedad de la Nilpotencia

Así las cosas, la primera propiedad de la que se puede hablar en la Diferencia Simétrica será la de la Nilpotencia, la cual dicta que en el momento en que un conjunto establece una operación de Diferencia simétrica con él mismo, el resultado será siempre el Conjunto vacío. Esto quizás encuentra su explicación en el hecho de que contando con idénticos elementos –por ser el mismo conjunto- al establecer una operación de Diferencia simétrica, el conjunto que se forme a continuación no podrá tener ningún elemento, porque no existirá ningún elemento que esté en un conjunto y en el otro no, de ahí que se interprete que el resultado de este caso sea siempre el Conjunto vacío. La expresión matemática de esta propiedad matemática puede ser la siguiente:

A ∆ A= ∅

Propiedad sobre conjuntos y subconjuntos

Así mismo, el Álgebra de Conjuntos distingue para la operación de Diferencia simétrica una segunda propiedad, la cual reza que cuando un Conjunto establece una operación de Diferencia Simétrica con uno de sus subconjuntos el resultado será siempre la diferencia entre conjuntos. Esta propiedad matemática podría expresarse así:

B ⊆ A → A ∆ B = A\B

Propiedad asociativa

Por otro lado, la Diferencia simétrica también cuenta con propiedades similares a aquellas inherentes a las operaciones numéricas. Un ejemplo de esto es la Propiedad asociativa que el Álgebra de conjuntos ha indicado que tiene lugar en esta operación, y que básicamente reza que si se tienen tres conjuntos (A, B y C) no importarán las asociaciones que se establezcan entre ellos, pues siempre se obtendrá el mismo resultado. A esta propiedad le corresponde la siguiente expresión matemática:

(A∆B)∆C = A∆(B∆C)

Propiedad conmutativa

Igualmente, el Álgebra de conjuntos ha señalado que en la Diferencia Simétrica también se puede hablar de Propiedad conmutativa, puesto que en esta operación en realidad no importa el orden en el que se presenten los distintos conjuntos, pues esto no afectará en nada el resultado. Esto se explica principalmente porque el conjunto que se obtiene como resultado de esta operación estará conformado por aquellos conjuntos que aparecen en un solo conjunto y no en el otro, lo cual no varía para nada si las colecciones que participan de la Diferencia simétrica alternan su orden:

A ∆ B = B ∆ A

Propiedad del Elemento neutro

Así también, existe una propiedad matemática que dicta qué pasa si la Diferencia Simétrica es establecida entre un conjunto cualquiera y el elemento neutro, que para el caso del Álgebra de conjuntos refiere al Conjunto vacío. En este caso, según apunta esta disciplina, el resultado será siempre el propio conjunto, pues al tener un conjunto que cuenta con un número de elementos y otro que no tiene ninguno, el conjunto originado según la Diferencia simétrica tendrá de forma íntegra los elementos que se encuentran en aquel conjunto que sí los posee. La expresión de esta propiedad corresponderá a la siguiente forma:

A ∆ ∅ = A

Propiedad Distributiva

Finalmente, el Álgebra de conjuntos ha señalado igualmente que en la Diferencia simétrica puede identificarse también una Propiedad Distributiva, la cual se da además en referencia a la Intersección (operación del Álgebra de conjuntos en la cual dos conjuntos forman un tercer conjunto conformado por aquellos elementos comunes a ambos conjuntos). Esta propiedad matemática reza entonces que la Intersección de un conjunto A con la Diferencia simétrica del conjunto B y C resultaría exactamente igual a la Diferencia Simétrica de las respectivas Intersecciones del conjunto A con B y C. La expresión de esta propiedad sería la siguiente:

A ∩ (B ∆ C) = (A  ∩ B) ∆  (A ∩  C)

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