Ejemplo de cómo calcular el área de la pirámide

Definiciones fundamentales

De esta manera, puede que también sea pertinente enfocar esta revisión teórica en cuatro definiciones específicas: Pirámides, Área lateral y Área de la pirámide, por encontrarse directamente relacionados con los procedimientos que se expondrán posteriormente. A continuación, cada uno de ellos:

Polígonos

Por consiguiente, se comenzará por decir que los Polígonos han sido descritos como aquellas figuras geométricas, que se caracterizan por ser completamente planas o bidimensionales, es decir, que en ellas puede verse tan solo dos dimensiones: alto y ancho, sin que en ellas pueda verse la dimensión de la profundidad.

Así mismo, la Geometría ha señalado que los Polígonos podrán ser entendidos como aquellas figuras completamente cerradas y delimitadas por un conjunto de segmentos de recta, elementos estos que le dan a los polígonos otra de sus características fundamentales: contar con todos sus lados rectos.

De igual forma, la disciplina geométrica ha señalado que en los polígonos pueden encontrarse cuatro distintos elementos, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

• Lados: constituidos por un grupo de segmentos de recta, que tienen la misión de delimitar, encerrar y constituir el polígono.
• Vértices: puntos geométricos en donde confluyen dos lados o segmentos de recta.
• Ángulos: espacios geométricos, delimitados por los lados que confluyen en el vértice.
• Diagonales: segmentos de recta que se disponen entre los vértices no continuos de un polígono.

Pirámides

Así mismo, las Pirámides han sido descritas por la Geometría como un tipo de poliedro, es decir, un espacio geométrico, delimitado por un conjunto de polígonos. En el caso específico de las pirámides, estas se encontrarán encerradas por dos distintos tipos de figuras planas, cerradas y de lados rectos:

• en primer lugar, la base de la pirámide estará constituida por un polígono cualquiera, compuesto por distintos segmentos de recta.
• en cuanto a las caras verticales, estas se encontrarán conformadas por triángulos, los cuales cumplirán con el requisito de coincidir por completo en un vértice en común.

Adicionalmente, las Pirámides se encontrarán también conformadas por un conjunto de elementos, cada uno de los cuales ha sido explicado de la siguiente manera:

• Base: será el polígono que se disponga en forma horizontal. Se encontrará conformado por un polígono de varios números de lados. De hecho, esta base es la que sirve para clasificar los distintos tipos de pirámides, teniendo entonces por ejemplo las pirámides triangulares (si la base es un triángulo), pirámides cuadrangulares (si la base es un cuadrado), etc.
• Caras verticales: por su parte, este poliedro tendrá por caras verticales varios triángulos. Si estos triángulos son isósceles, y a su vez el polígono de la base es regular, se entenderá entonces que la pirámide es también regular.
• Aristas: siendo un tipo de poliedro, las Pirámides contarán también con aristas, las cuales han sido explicadas de forma general como aquellos segmentos de recta, en los que confluyen dos polígonos.
• Vértices: así mismo, las Pirámides contarán igualmente con vértices, explicados como aquellos puntos geométricos, en donde confluyen tres o más aristas.
• Ángulos diedros y Ángulos poliedros: igualmente, dentro de este tipo de poliedro, se encontrará presencia de los ángulos diedros, identificados como aquellos espacios geométricos, delimitados por los polígonos que se encuentran en una arista. Por su parte, los ángulos diedros resultarán los espacios geométricos, que están completamente delimitados por los polígonos que se encuentran en un vértice.
• Cúspide: pese a que las pirámides cuentan con vértices, hay uno de ellos que se distingue por sobre los otros: la cúspide, la cual es entendida entonces como el vértice superior, y siempre opuesto a la base, en el cual confluyen todos los triángulos o caras laterales que pueden encontrarse en la pirámide.
• Altura de la pirámide: por su lado, este elemento ha sido explicado como la medida que existe entre la cúspide de la pirámide y la base de esta.
• Apotema: finalmente, dentro de la pirámide se encontrará también la apotema, explicado como la altura de cada cara lateral, o en otras palabras, la medida o distancia que existe entre la cúspide y la base de cada uno de los triángulos que conforman las caras verticales de este tipo de poliedro.

Área lateral de la pirámide

Por otro lado, será también explicar el Área lateral que puede encontrarse en las pirámides, y que ha sido definido como la medida, que da cuenta del total de las distintas áreas, que tienen cada uno de los triángulos que conforman las caras laterales de la pirámide. En consecuencia, siendo estas caras triángulos, la forma de determinar el área de cada una de ellas será usando entonces la fórmula para calcular el área de un triángulo:

En donde b, será equivalente a la base del triángulo, h se referirá al apotema. Sin embargo, una vez que se establezca cuál es el área de cada cara, para encontrar el área lateral será necesario entonces multiplicar esta fórmula por el número de caras triangulares con las que cuente este poliedro, teniendo entonces la siguiente fórmula:

Al respecto, algunas fuentes han señalado que como b x n es también la fórmula equivalente al perímetro de la base, entonces esta fórmula usada para encontrar el Área lateral de una pirámide puede ser igualmente resumida en la siguiente fórmula:

De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes, el Área lateral de la pirámide es una medida fundamental a la hora de encontrar el área total de la pirámide.

Área de la pirámide

Finalmente, será igualmente necesario lanzar luces sobre la definición del Área de la pirámide, la cual ha sido explicada como la medida que da cuenta sobre el total de la superficie de este poliedro, y que será equivalente al total que resulte de la suma del Área lateral de la pirámide más el área del polígono que sirve de base, lo que puede resumirse entonces en la siguiente fórmula:

Área de la pirámide = A lateral de la pirámide + A base de la pirámide

Por ende, el número de lados con los que cuente el polígono que hace de base en el poliedro es lo que determinará cuál es la fórmula que se empleará a la hora de determinar cuál es el área de la base.

Ejemplos de cómo determinar el Área de la pirámide

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar un caso que pueda servir de ejemplo, a la hora de ver de forma concreta cómo debe determinarse el Área de una pirámide, tal como puede verse a continuación:

Suponiendo que se cuenta con una Pirámide cuadrangular, en donde la base de cada cara triangular es igual a 5 cm, mientras que la apotema es igual a 6 cm, determinar cuál es el área total de esta pirámide.

Para dar cumplimiento con lo planteado por el ejercicio, se comenzará por analizar el poliedro sobre el que deberá calcularse el Área. De esta forma, se tendrá que se trata de una Pirámide cuadrangular, es decir, que tiene por base un cuadrado. Así mismo, el siguiente paso que se dará en el camino para calcular el Área de la pirámide será determinar el área lateral, para lo cual se necesitará la medida de la base y de la apotema, que ha dado previamente el ejercicio:

b = 5 cm
h = 6 cm

Sin embargo, es necesario determinar el Área lateral, metiendo en esta fórmula el número de caras con las que cuenta la pirámide, poliedro este que contando con una base cuadrangular tendrá entonces cuatro caras laterales:

Teniendo el Área lateral de la Pirámide, será igualmente necesario –antes de proseguir con el cálculo del área de este poliedro- determinar cuál es el área de la base, o en otras palabras, del polígono que sirve de base. En este caso, siendo entonces una pirámide cuadrangular, la cual tiene como base un cuadrado, pues entonces se usará la fórmula inherente a los cuadrados para determinar su área, y que señala que esta medida que da cuenta de la superficie de este polígono, se calcula elevando la medida de su lado al cuadrado, teniendo entonces la siguiente fórmula:

A cuadrado = L²

La medida con la que cuenta cada lado de este cuadrado que sirve de base ya ha sido señalada en el planteamiento del ejercicio, pues este es equivalente a la base de cada triángulo, que sirve de cara lateral a la pirámide. De esta forma, se tendrá entonces que el Área de la base es igual a la siguiente cantidad:

A base = L²
A base = 5²

A base = 25 cm²

Ya con estas dos medidas conocidas, es decir, con la medida del Área lateral y del Área de la base, se podrá entonces determinar cuál es el Área de la pirámide, pues bastará con sumar estos dos datos:

Área de la pirámide = Área lateral + Área de la base

Área de la pirámide = 60 + 25

Área de la pirámide = 85

Una vez se ha encontrado la medida, se tiene entonces que esta medida debe ser expresada en metros cuadrados, por ser esta la medida métrica que le corresponde:

Área de la pirámide = 85 cm²

Imagen: wikipedia.org