Cómo dividir un polinomio entre un polinomio

Pasos para dividir un polinomio entre otro polinomio

En este sentido, la forma de dividir un polinomio variará según la expresión entre la cual deba dividirse. En el caso de la división de un polinomio entre un polinomio existen una serie de pasos, que deberán seguirse correspondientemente, para poder hallar el resultado final, es decir el cociente resultante de la división de ambas expresiones. A continuación, las operaciones concernientes a la división de polinomios:

• En primer lugar, se debe revisar ambas expresiones algebraicas, a fin de determinar si en efecto se tratan de polinomios, es decir, de expresiones compuestas por monomios (combinación de números y letras, elevadas estas últimas a números enteros y positivos) y términos independientes.
• Seguidamente, en caso de no estar ordenados, se procederá a organizar los términos de cada polinomio, de forma descendente.
• Hecho esto, se deberá entonces tomar el primer término del dividendo y dividirlo entre el primer término del divisor, recordando que esta operación se realiza a través de la división de los coeficientes, y la resta de los exponentes. El resultado se anotará debajo del divisor.
• Así mismo, se multiplicará este resultado por cada uno de los términos del polinomio divisor. Al resultado se le calculara su opuesto, es decir se le cambiará el signo, y se anotará debajo del polinomio dividendo, sumando ambas expresiones, y anotándolas inmediatamente abajo.
• Se tomará entonces el primer término del resultado de esta suma y se dividirá entre el primer término del polinomio divisor, originando un término que será anotado debajo de éste, para multiplicarse y anotarse de forma opuesta debajo del resto de la operación anterior, para así sumarlas nuevamente.
• Esta operación se repetirá una y otra vez, hasta lograr un resto en donde el grado sea menor que el del primer término del divisor, por lo que no se pueda seguir dividiendo. La expresión que se haya formado debajo del divisor será considerado el coeficiente, mientras que la expresión que se haya generado debajo del dividendo será el resto de la división.
• En caso de que el primer término del dividendo tenga un primer término del divisor, que no sea divisible entre el primer término del polinomio divisor, o cuyo resultado sea un número no entero, se considerará entonces a la división como una división inexacta.

Ejemplos de división de un polinomio entre un polinomio

Sin embargo, quizás la mejor forma de exponer esta serie de pasos inherentes a la división de un polinomio entre otro polinomio sea a través de algunos ejemplos, en donde se pueda ver claramente su puesta en práctica. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Resolver la siguiente división 25x⁴ + 30x³  + 35x² :  5x² + x   

Al revisar estas expresiones, se puede concluir en primera instancia que se trata de dos polinomios. Así mismo, se puede ver que ambos se encuentran ordenados de forma descendente. En consecuencia, se puede comenzar la operación dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, originando un término que deberá ser igualmente multiplicado por cada uno de los términos de éste, siendo anotado –con signo opuesto- debajo del dividendo, a fin de sumar ambas expresiones:

25x⁴ : 5x²=  (25:5)x^4-2 =  5x²
5x² . (5x² + x)=   (5x².5x²)+ (5x². x)= (5.5)x²⁺² + (5.1)x²⁺¹→ 25x⁴ + 5x³
25x⁴ + 5x³ → -(25x⁴ + 5x³) → -25x⁴ – 5x³

25x³: 5x²= (25:5)x^3-2 = 5x
5x . (5x² + x)= (5.5)x¹⁺² + (5.1)x ¹⁺¹ = 25x³ + 5x²
25x³ + 5x² →  -( 25x³ + 5x²)= -25x³ – 5x²

      30x² : 5x² = (30:5)X^2-2= 6x⁰ = 6
6 . (5x² + x)= 30x² + 6x
30x² + 6x → -(30x² + 6) = -30x² – 6

Al llegar a un número que tiene un grado menor que el del primer término del divisor, no se puede seguir dividiendo. El resultado final será entonces:

Cociente: 5x²+ 5x + 6
Resto: -6

Ejemplo 2

Resolver la siguiente operación  10x⁴ – 20x³ + 18x² :  2x – 2

10x⁴   :  2x =  (10: 2)x^4-1  = 5x³                                                            

5x³ . ( 2x – 2)=  (5.2)x³⁺¹ + (5. -2)x³ = 10x⁴– 10x³

10x⁴– 10x³→ -(10x⁴– 10x³) =  -10x⁴ +10x³

-10x³ : 2x =  (-10:2)x^3-1 = -5x²
-5x² . (2x – 2)= -10x³ +10x² → -(-10x³ +10x²) → 10x³ – 10x²

8x² : 2x =  4x
4x . (2x – 2) = 8x² – 8  → -(8x² – 8 ) → -8x² + 8

 

Coeficiente: 5x³  -5x²  + 4x
Resto: 8

Ejemplo 3

Resolver la siguiente operación  16x –  32x⁵  + 4x³ –  12x²  :   4x² – x + 2

16x –  32x⁵  + 4x³ –  12x²  →     – 32x⁵          + 4x³ –  12x²  + 16x

– 32x⁵ : 4x² = -8x³
-8x³ . (4x² – x + 2) = -32x⁵ + 8x⁴ – 16x³ →  -(-32x⁵ + 8x⁴ – 16x³) → 32x⁵ – 8x⁴ + 16x³

–  8x⁴ : 4x² =  -2x²
 -2x² . (4x² – x + 2) = -8x⁴ + 2x³ – 4x² → -(-8x⁴ + 2x³ – 4x²) = 8x⁴ – 2x³ + 4x²

Al no ser divisible 18x³ : 4x²  se suspende la división, y se señala que es una división inexacta.

Ejemplo 4

Resolver la siguiente ecuación  21x⁴ – 30x³ – 12x² + 3x   :   3x – 3

21x⁴ : 3x = 7x³
7x³ . (3x – 3)=  21x⁴ – 21 →  -(21x⁴ – 21) → -21x⁴ + 21

-30x³ :  3x =  -10x²

-10x² . (3x – 3) = -30x³ + 30 → -(-30x³ + 30) = 30x³ – 30

– 42x² : 3x →  -14x
-14x . (3x – 3)=  -42x² + 42x → -(-42x² + 42x) → 42x² –

-39x :  3x = -13
-13.( 3x – 3)= -39x + 39 → -(-39x+ 39)= 39x – 39

Coeficiente: 7x³ – 10x² -14x -13
Resto: -18