Conjunto original y conjunto imagen (conjuntos matemáticos)

Definiciones fundamentales

En este sentido, será necesario entonces también delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: Conjuntos y Correspondencia, por encontrarse directamente relacionados con los tipos de conjunto que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjuntos

De esta manera, podrá comenzarse por decir que los distintos autores coinciden en describir el Conjunto como un objeto matemático, constituido por una agrupación de elementos, que responden a la misma naturaleza, de ahí que la disciplina matemática también entienda el Conjunto como una reunión abstracta y homogénea de elementos.

Así mismo, las Matemáticas han señalado que los elementos que conforman el conjunto se caracterizan por tener la capacidad de constituirlo de forma única y exclusiva.

Correspondencia

En segunda instancia, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Determinación de correspondencia, la cual ha sido explicada como la relación matemática que existe entre los elementos de un conjunto A que encuentran su correspondencia en los elementos de un conjunto B, según un criterio de correspondencia denominado Grafo, y que a su vez terminará por estar conformado por los distintos pares de correspondencia que se crearán entre los dos conjuntos.

Por ejemplo, si se tuviera que determinar una correspondencia en los siguientes conjuntos:

Se tendría que si se aplicara como criterio de correspondencia “tiene por cuadrado”, se obtendrían el siguiente Grafo: {(1, 2), (-1, 2), (2, 4), (-2, 4), (3, 9), (-3, 9)} conformado por los diferentes pares de correspondencia que se han determinado en estos conjuntos, conforma al criterio expresado inicialmente.

Conjunto original y Conjunto imagen

Una vez se han revisado cada uno de estas definiciones, puede que sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre el Conjunto original y el Conjunto imagen, de los cuales puede decirse en primera instancia que conforman el par de conjuntos entre los que se puede establecer una correspondencia. Sin embargo, resultará útil tomar un momento para estudiarlos individualmente:

Conjunto original

El primero en estudiarse será entonces el Conjunto original, el cual ha sido explicado por las distintas fuentes como la agrupación de elementos desde la que se inicia la correspondencia, de ahí que este conjunto también se denomine conjunto de partida. Así mismo, esta agrupación se caracteriza por ser de él que se originan las flechas que señalan la correspondencia.

Por su parte, los elementos que se agrupan en este conjunto, y que encontrarán correspondencia con algún elemento en el otro conjunto, se denominan elemento original o elemento antiimagen. En el par de correspondencia ocupa el primer lugar.

Conjunto final

Por otro lado, en la relación de correspondencia también se encuentra el conjunto final, conocido  como conjunto de llegada, pues es en él donde desencadenan las flechas que marcan la relación de correspondencia. Por consiguiente, este conjunto ha sido explicado como la agrupación de elementos que resultan correspondientes a los elementos del conjunto original.

En cuanto a la denominación específica de los elementos que conforman este conjunto, la mayoría coincide en señalar que los elementos del conjunto final pueden denominarse elemento imagen. En el par de correspondencia, este elemento ocupa siempre el segundo lugar.

Propiedades del conjunto original y el conjunto final

Así mismo, las Matemáticas han señalado que en estos conjuntos puede encontrarse una ley matemática, la cual siempre señalar que el conjunto original puede ser considerado un subconjunto del conjunto inicial, lo cual podrá expresarse matemáticamente hablando de la siguiente manera:

Conjunto original ⊂ conjunto inicial

De igual forma, el conjunto imagen podrá considerarse también un subconjunto del conjunto final, situación que por su parte podrá expresarse de la siguiente manera.

Conjunto imagen ⊂ conjunto final

Siendo conjuntos, tanto el conjunto original como el conjunto final deberán ser expresados en todo momento dentro de signos de llave {}, los cuales incluirán los elementos que pueden verse en ellos, separados por comas.

Ejemplo de Conjunto original y conjunto imagen

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre el Conjunto original y el conjunto imagen, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver la forma en que estos conjuntos, una vez establecida la correspondencia, deberán ser identificados y expresados. A continuación el siguiente ejercicio:

Dada la siguiente correspondencia, cuyo grafo es “tiene como cuadrado”, identificas y expresar el conjunto original y el conjunto de llegada:

En este caso, se tiene entonces dos conjuntos, cuyos elementos presentan correspondencias entre sí. Para cumplir con lo exigido por el planteamiento, se comenzará por identificar el conjunto original, el cual se distingue por ser de donde parte la correspondencia, es decir, el conjunto A. Esta agrupación podrá expresarse de la siguiente manera:

A = {1, -1, 2, -2, 3, -3}

En segundo lugar, habrá que identificar cuál será el conjunto de llegada, que en este ejemplo entonces estará constituido por el conjunto B, el cual podrá expresarse a su vez tal como se muestra a continuación:

B = {2, 4, 9}

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