Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se optará igualmente en delimitar esta revisión a dos nociones específicas: Ecuaciones de segundo grado y Determinación de ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones, por encontrarse directamente relacionadas con el ejemplo que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Ecuaciones de segundo grado

En este sentido, se comenzará por decir que las Ecuaciones de segundo grado pueden ser descritas como un tipo de igualdad literal en la que el elemento literal cuente, en primer lugar, con la posibilidad de sólo corresponder con una solución, por otro lado, este elemento –es decir, el literal- también se encuentra elevado al cuadrado.

Si se tratara de una expresión en donde hubiese varios elementos literales, el mayor exponente que podría hallarse en ellos, para que la expresión pudiese ser considerada de segundo grado sería el cuadrado. A continuación, un ejemplo de la forma reducida que puede presentar una ecuación de segundo grado:

ax² + bx + c = 0

Así mismo, de acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, las ecuaciones de segundo grado pueden ser concebidas como igualdades literales conformadas por dos distintos tipos de componentes, cada uno de los cuales han sido explicados a su vez de la siguiente forma:

• Elementos: en primer lugar, se encontrarán los elementos, renglón en donde se podrán distinguir igualmente dos subtipos: por un lado, los coeficientes a, b y c, los cuales estarán constituidos por elementos numéricos; en segunda instancia, dentro de este tipo de ecuaciones, también se encontrará la incógnita, la cual debe despejarse, y por tradición se encuentra representada por la letra x.
• Términos: por otro lado, las Matemáticas indican que en las ecuaciones de segundo grado podrán encontrarse también tres diferentes términos, descritos de la siguiente forma:

• ax² → término cuadrático, responsable de señalar el grado de la ecuación.
• bx → término lineal.
• c → término independiente, constituido por un número que no cuenta con la presencia de ningún elemento literal.

Así mismo, la disciplina matemática señala que la presencia o ausencia de estos términos, dentro de la ecuación de segundo grado, hacen que las ecuaciones puedan ser clasificadas igualmente en dos distintas clases:

• Ecuaciones de segundo grado completas: llamadas así por contar con la presencia de sus tres términos, lo cual ocurre gracias a que ninguno de los coeficientes presentes en ellos es igual a cero.
• Ecuaciones de segundo grado incompletas: sin embargo, también puede ocurrir que dentro de la ecuación el término lineal o el término independiente –o incluso ambos- cuenten con coeficientes iguales a cero. No obstante, esta situación no podrá darse nunca en el término cuadrático, pues esto originaría que la ecuación dejase de ser de segundo grado. En cuanto a la nulidad de los otros dos términos, esto puede dar como resultado las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

ax² + bx = 0
ax² + c = 0
ax² = 0

Determinación de ecuaciones de segundo grado a partir de sus soluciones

Igualmente, será necesario lanzar luces sobre el procedimiento matemático por medio del cual se puede determinar una ecuación de segundo grado en base a sus soluciones. En este orden de ideas, las Matemáticas señalan entonces que existe una ley matemática que permite conocer o formar la ecuación de segundo grado, si se opta por anotar un término cuadrático de coeficiente uno, como término lineal la suma de las soluciones con signo contrario, y por término independiente pues el producto de estas soluciones, con el signo que le corresponde según la operación de multiplicación:

Ejemplo de ecuación de segundo grado en base a sus soluciones

Toda vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a un ejemplo concreto en donde se vea cómo realmente en base a dos soluciones se puede conformar una ecuación de segundo grado. A continuación, el siguiente ejercicio:

Suponiendo que se cuenta con las siguientes soluciones: x₁ = 2   y  x₂ = 6, determinar una ecuación de segundo grado con respecto a sus soluciones:

Planteado este ejercicio, lo primero que se hará será determinar el término lineal, correspondiente entonces a la suma de las soluciones expuestas:

S =  2 + 6 = 8

Al hacerlo, se tiene entonces que el término lineal de la ecuación de segundo grado tendrá por coeficiente 8, es decir:

Sx → 8x

En segundo lugar, se determinará cuál es el producto de las soluciones de esta ecuación de segundo grado que se quiere forma:

P = 2 . 6 = 12

Se tiene entonces que el coeficiente del término independiente será igual a 12. Teniendo estos dos coeficientes, se aplica entonces la fórmula x² – Sx + P = 0 para obtener la ecuación de segundo grado completa que se desea determinar en base a las soluciones planteadas en primer momento:

x² – Sx + P = 0 →  x² – 8x + 12 = 0

Al obtener esta ecuación, se podría comprobar si se ha obtenido la ecuación completa, simplemente aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado completas:

x² – 8x + 12 = 0

Se tiene entonces que efectivamente esta ecuación de segundo grado cuenta con dos posibles soluciones:  x₁ = 2   y  x₂ = 6. Por ende, se considera correctamente aplicado el procedimiento para determinar la ecuación de segundo grado completa en base a las soluciones dadas originalmente.

x² – 8x + 12 = 0

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