Ejemplos de aplicación del Método de reducción a la unidad en ejercicios de Regla de tres simple inversa

Definiciones fundamentales

De esta manera, también resultará prudente delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes, Magnitudes inversamente proporcionales, Método de reducción a la unidad, por encontrarse directamente relacionadas con los ejercicios que se abordarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones han sido explicadas por las distintas fuentes matemáticas como un tipo de expresión, cuya misión es dar cuenta del cociente entre dos números, es decir, que las Razones servirán para señalar cuántas veces se encuentra contenido el Divisor dentro del Dividendo. Algunos ejemplos de estas expresiones pueden ser las siguientes:

De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, las Razones se encontrarán conformadas por dos elementos: en primer lugar, se encontrará el Antecedente, el cual ocupará el ámbito superior de esta expresión, al tiempo que señala cuál es el Dividendo; por otro lado, se encontrará también el Consecuente, elemento que se encuentra en la parte inferior de la razón, y cuya misión es indicar cuál es el Divisor.

Así mismo, las Matemáticas han señalado la importancia de no confundir Razones con Fracciones, pues aun cuando tienen cierta similitud, en realidad se encuentran conformadas por elementos distintos, al tiempo que son expresiones de situaciones matemáticas diferentes. De esta manera, las Razones –conformadas por el Antecedente y el Consecuente- darán cuenta del cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –compuestas por el Numerador y el Denominador- expresarán cuántas partes se han tomado de una unidad dividida en varias partes iguales.

Proporciones

En segunda instancia, también será necesario detenerse un momento en el concepto de Proporciones, las cuales han sido explicadas entonces como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Por ende, dos razones proporcionales serán dos razones iguales. Un ejemplo de este tipo de expresiones será el siguiente:

Al observar ambas razones, se puede ver en primer momento cómo ninguno de sus elementos coincide entre sí, de acuerdo a su valor. Empero, estas expresiones o razones pueden considerarse como razones proporcionales o iguales, en tanto que si se resolvieran, entonces en ambos casos se obtendría un cociente igual a 2. En consecuencia, aun cuando no tengan elementos iguales, estas razones se constituyen como expresiones del mismo cociente.

No obstante, esta no es el único método que tienen las Matemáticas para determinar si dos razones son o no proporcionales. De esta manera, también puede emplearse el método de los extremos y los medios. Por consiguiente, se pueden multiplicar entre sí los extremos –el Antecedente de la primera razón por el Consecuente de la segunda- y los medios –el Consecuente de la primera por el Antecedente de la segunda razón. Si las razones son proporcionales, entonces estas multiplicaciones arrojarán el mismo producto:

Este rasgo, se conoce matemáticamente como una de las Leyes de la proporción, y es bastante útil a la hora de que algún elemento de la proporción apareciera como desconocido. En tal caso, se debería simplemente aplicar una Regla de tres simple directa, en donde se multiplicarían los elementos del ámbito que está completo –bien si es el de los extremos o el de los medios- y se dividiría entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea completar:

Magnitudes

Así también, será necesario traer a capítulo el concepto de Magnitudes, las cuales serán vistas como el conjunto de elementos, que cuentan con la capacidad de sumarse, compararse u ordenarse, en relación a otras unidades, que necesariamente deben resultarles homogéneas o semejantes.

Magnitudes inversamente proporcionales

Por su parte, las Matemáticas han definido las Magnitudes inversamente proporcionales como aquel conjunto de magnitudes, en donde se cumple la propiedad de que si la primera de ellas se multiplica por un factor específico, la segunda también se ve afectada por este mismo factor, pero de manera inversa, puesto que deberá dividirse entre él. Así mismo, ocurre que si la primera magnitud se ve dividida por un factor específico, la segunda se multiplicará por este mismo.

Método de reducción a la unidad

En último lugar, será también necesario tomar un momento para revisar el concepto de Método de reducción a la unidad, el cual puede ser explicado como el procedimiento por medio del cual se busca resolver un problema de Magnitudes inversamente proporcionales, en donde se desconozca uno de los elementos que participan de esta relación inversa y proporcional.

Con respecto al objetivo de este procedimiento, las Matemáticas han señalado que básicamente una vez planteada una Magnitud inversamente proporcional, se buscará determinar cuál es la relación que existe con respecto a la unidad. Establecido esto, se puede entonces calcular cómo se comporta las Magnitudes inversamente proporcionales ante otros factores. Por ende, en este tipo de procedimientos se deberán seguir los pasos que se mencionan a continuación:

1.- Plantear la información que ha sido suministrada por el ejercicio.

2.- Buscar la Reducción a la unidad. Para esto se dividirá la primera magnitud entre sí misma, para entonces obtener la unidad.

3.- Siendo Magnitudes inversamente proporcionales, entonces automáticamente la segunda magnitud debe multiplicarse por el mismo factor entre el que se dividió la primera.

4.- Logrado reducir a su unidad a la Magnitud inversamente proporcional, se comienza entonces a buscar cómo determinar qué otro tipo de relación se puede establecer.

5.- Se exponen entonces los resultados.

Ejemplos de aplicación del Método de reducción de la unidad

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo exponer algunos casos que permitan ver de forma concreta cómo debe aplicarse correctamente el Método de reducción a la unidad, en casos de Regla de tres inversa proporcional. A continuación, algunos ejercicios:

Ejemplo 1

En una granja existen 40 kilos de comida, los cuales permiten alimentar 20 vacas por 15 días. ¿Cuántos días podría alimentar la misma cantidad de comida a 35 vacas?

Al revisar el planteamiento de este ejercicio, se puede concluir que se trata de un problema de Magnitudes inversamente proporcionales, en tanto que si una de las cantidades se multiplica, es decir, si aumenta el número de vacas, entonces se divide o reduce el número de días en que durará la cantidad de alimento que se posee. Por ende, las Magnitudes inversamente proporcionales son el número de vacas y días de alimentación. De esta forma, se expone la información que ha suministrado el problema:

20 vacas se alimentan por 15 días
35 vacas por cuántos días se alimentarán

Ante esto se escoge entonces el Método de reducción a la unidad, el cual buscará establecer cómo se comporta esta relación entre Magnitudes inversamente proporcionales con respecto a la Unidad. Para esto, será necesario entonces tomar la primera magnitud y dividirla entre sí misma, para obtener la unidad. Siendo una Magnitud inversamente proporcional, la segunda magnitud se deberá multiplicar por el mismo factor:

20 : 20 = 1
15 x 20 = 300

Al hacerlo, se deberá entonces exponer la relación que se han encontrado:

1 vaca se tomará 300 días para consumir la comida

Teniendo esta relación, se podrá calcular entonces cuántos días necesitan 35 vacas, para consumir el alimento. Para esto, se deberá simplemente multiplicar la unidad por 35, recordando que automáticamente la segunda magnitud, es decir los días deberán dividirse entre el mismo factor:

1 x 35 = 35
300 : 35 = 8,5

Por ende, se tendrá que 35 vacas se pueden demorar 8,5 días para consumir la misma cantidad de alimento. Se procede entonces a plantear la información encontrada:

20 vacas se alimentan por 15 días
35 vacas se alimentan por 8,5 días

Ejemplo 2

Diez hombres invierten 30 días en realizar un trabajo determinado. ¿Cuánto tiempo tardarían 25 hombres? ¿En cuánto tiempo lo harían 35 hombres?

En este caso, también se está frente a Magnitudes inversamente proporcionales, puesto que a más cantidad de hombres, menor tiempo de trabajo. Por ende, se comenzará el ejercicio exponiendo la información con la que se cuenta:

10 hombres gastan 30 días en realizar un trabajo
25 hombres cuánto tiempo tomarán
35 hombres cuánto tiempo tomarán

Ante el ejercicio, se escogerá entonces el Método de la reducción a la Unidad, a fin de poder determinar cómo se comporta la relación de estas Magnitudes inversamente proporcionales con respecto a la Unidad. Para esto, se tendrá que dividir la primera magnitud entre sí misma, al tiempo que se multiplica la segunda por el mismo factor:

10 : 10 = 1
30 x 10 = 300

Al hacerlo, se tiene entonces que 1 solo hombre demoraría 300 días en realizar el trabajo. Por ende, esta relación puede ser expresada de la siguiente manera:

1 hombre demora 300 días en realizar la labor

Con este dato, se puede conocer entonces cuánto se demorarían 25 hombres, para esto se deberá multiplicar la unidad por 25, y de inmediato dividir la segunda magnitud entre el mismo factor:

1 x 25 = 25
300 : 25 = 12

Es decir que 25 hombres se demorarán 12 días en realizar el trabajo. Se procede entonces a calcular cuánto se demorarían 35 hombres. Para esto también se deberá multiplicar la unidad por 35, al tiempo que se divide la segunda magnitud con la que se encuentra relacionada entre el mismo factor:

1 x 35 = 35
300 : 35 = 8,57

Por ende, 35 hombres invertirían tan solo 8,57 días en realizar la labor. Teniendo estos resultados no queda más que exponerlos, para dar respuesta al planteamiento hecho entonces por el ejercicio:

10 hombres gastan 30 días en realizar un trabajo
25 hombres tomarán 12 días
35 hombres tomarán 8,57 días

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